Distanza tra le lingue normali

Voglio definire una nozione di "vicinanza" tra due lingue regolari di parole finite in $\Sigma^*$ (e / o parole infinite in $\Sigma^\omega$ ). L'idea di base è che vogliamo che due lingue siano vicine se non differiscono per molte parole. Potremmo anche usare la distanza di modifica in qualche modo ... Non sono riuscito a trovare buoni riferimenti su questo problema.

Non la chiamo distanza perché non ho bisogno che tutti gli assiomi della distanza siano veri (anche se non è male se lo sono).

Un primo tentativo è definire dove e sono le restrizioni di e a e è la differenza simmetrica.

$$d(L,K)= \limsup_{n\to\infty} \frac{|L_n\Delta K_n|}{|L_n\cup K_n|}$$ $L_n$$K_n$$L$$K$$\Sigma^n$$\Delta$

Questa "distanza" è studiata? Ci sono riferimenti sull'argomento (possibilmente con scelte alternative per la funzione di distanza)? Qualsiasi aiuto o puntatore sarebbe apprezzato, grazie.

Come forse già saprai, una metrica comune sulle parole è la metrica Cantor, che è definita come:

$$d(l, k) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{if } l = k \\ 2^{-n} & \mbox{where } n = \min\{i\in\mathbb{N} \;|\;l_i \not=k_i\} \end{array} \right.$$

In parole povere, se una stringa è una sequenza di eventi, la distanza tra due stringhe è , dove n è la prima volta che differiscono. Questo può essere portato a una metrica in lingue (non vuote) usando la metrica Hausdorff. (Se consenti infinite stringhe, devi anche assicurarti che le lingue siano complete di Cauchy.) $2^{-n}$$n$

Questa metrica si presenta molto durante la verifica. Il primo riferimento a questo che conosco è Alpern e Schneider 1985, Defining Liveness . (Mi dispiace per l'assenza di un collegamento, ma non sono riuscito a trovare una copia online.)

Jean-Eric Pin ha scritto un articolo di indagine, Metodi profiniti nella teoria degli automi , in cui analizza alcune metriche più generali e traccia anche alcune connessioni con la dualità di Stone.