Una versione rumorosa del gioco della vita di Conway supporta il calcolo universale?


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Citando Wikipedia , "[Conway's Game of Life] ha il potere di una macchina di Turing universale: vale a dire, tutto ciò che può essere calcolato in modo algoritmico può essere calcolato in Conway's Game of Life."

Tali risultati si estendono alle versioni rumorose di Game of Life di Conway? La versione più semplice è che dopo ogni round ogni cellula viva muore con una piccola probabilità e ogni cellula morta diventa viva con una piccola probabilità s (indipendentemente).tS

Un'altra possibilità è quella di considerare la seguente variante probabilistica della regola del gioco stesso.

  • Qualsiasi cellula viva con meno di due vicini vivi muore con probabilità .1-t
  • Qualsiasi cellula viva con due o tre vicini vivi vive con probabilità sulla generazione successiva.1-t
  • Qualsiasi cellula viva con più di tre vicini vivi muore con probabilità .1-t
  • Qualsiasi cellula morta con esattamente tre vicini vivi diventa una cellula viva con probabilità .1-t

Domanda: queste versioni rumorose di Game of Life supportano ancora i calcoli universali? In caso contrario, cosa si può dire del loro "potere computazionale"?

Saranno anche apprezzate le informazioni correlate sulla potenza computazionale degli automi cellulari e le versioni rumorose degli automi cellulari.

(Questa domanda si è sviluppata da questa domanda su MathOverflow. La risposta di Vincent Beffara su MO ha fornito riferimenti interessanti per risultati correlati sugli aspetti computazionali degli automi cellulari rumorosi.)


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@vzn 1) no, questa non è la "vera domanda", è una domanda completamente diversa; La domanda di Gil riguarda la solidità di un semplice modello computazionale al rumore, non il potere della casualità; 2) Le TM con un nastro casuale non sono più potenti delle TM deterministiche, vedi questa risposta: cstheory.stackexchange.com/a/1415/4896
Nikolov

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La vera domanda qui è se le versioni stocastiche / rumorose del "Gioco della vita" supportano ancora il calcolo. (Se queste versioni supportano i calcoli in P, la loro potenza potrebbe arrivare fino a BPP.) È possibile che il potere computazionale di queste versioni stocastiche del gioco della vita sia molto più basso.
Gil Kalai,

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Forse sto affermando l'ovvio, ma puoi semplicemente duplicare una configurazione abbastanza volte in modo da garantire con alta probabilità che una versione della configurazione non abbia nemmeno una cella capovolta. La mia convinzione personale è che possiamo fare molto, molto meglio, ma almeno è un limite inferiore semplice.
user834

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Non sono sicuro che la domanda sia ben definita. Supponiamo che . Mi sembra che potresti essere in grado di trovare un computer che si occupa di tutti gli errori a un bit nel "Gioco della vita", dandoti un calcolo tollerante ai guasti a meno che tu non riceva spontaneamente un grande blocco di errori tutti in una volta. Ma non credo che nulla possa essere robusto contro tutti gli errori. Ad esempio, supponiamo che gli errori creino spontaneamente un avversario malevolo determinato a interrompere il calcolo. Potresti essere in grado di mostrare che il tuo calcolo ha esito positivo con probabilità > 1 - 10 - 9 ma non riuscito con probabilità > 10 - 10000 . Questo conta?t=10-9>1-10-9>10-10000
Peter Shor,

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Peter, se il tuo calcolo ha esito positivo con probabilità 2/3, sono felice.
Gil Kalai,

Risposte:


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Ecco alcuni riferimenti "migliori nelle vicinanze", per quello che vale. Sembrerebbe che il modo di procedere su questa domanda sia di ridurla a una domanda sulle "macchine di Turing rumorose", che sono state studiate (un po 'di recente) e che sono apparentemente l'area pertinente più vicina della letteratura. La risposta di base / generale / ragionevole sembra essere che se la MT è in grado di resistere / correggere il rumore (come è dimostrato in questi riferimenti), è molto probabile che la CA possa anche, entro alcuni limiti / soglie.

La questione di come ridurre una "CA rumorosa" a una "TM rumorosa" (e viceversa) è più aperta. Potrebbe non essere difficile, ma non sembrano esserci ricerche pubblicate nell'area. Un altro problema è che la TM rumorosa è un nuovo modello e quindi potrebbero esserci più modi (naturali?) Di rappresentare una TM rumorosa. Ad esempio, i seguenti documenti esaminano le interruzioni nella funzione di transizione di stato, ma un altro modello naturale sono le interruzioni nei simboli del nastro (quest'ultimo essendo più connesso alle CA rumorose?). Potrebbe esserci qualche relazione tra i due.

  • Turing Machine a prova di guasto di Ilir Capuni, 2012 (tesi di dottorato)

    La macchina di Turing è il modello di calcolo universale più studiato. Questa tesi studia la domanda se esiste una macchina di Turing che può calcolare in modo affidabile anche quando le violazioni della sua funzione di transizione si verificano indipendentemente l'una dall'altra con una piccola probabilità.

    In questa tesi, dimostriamo l'esistenza di una macchina Turing che con un sovraccarico polinomiale simula qualsiasi altra macchina Turing, anche quando è soggetta a difetti del tipo sopra, rispondendo in tal modo alla domanda che è rimasta aperta per 25 anni.

  • Una macchina di Turing che resiste a raffiche isolate di guasti di Ilir Capuni e Peter Gacs, 2012
  • Noisy Turing Machines di Eugene Asarin e Pieter Collins, 2005
(Un'altra domanda: potrebbe esserci una connessione tra TM rumorose e macchine Turing probabilistiche ?)


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Gil sta chiedendo se il GL sta dimenticando tutto della sua configurazione iniziale in un tempo indipendente dalle dimensioni, quando ogni cellula "disobbedisce" alla funzione di transizione indipendentemente dalle altre celle con una piccola probabilità.

Per quanto ne so, questo non è noto per il GL. È una domanda molto interessante però. Se riesce a resistere al rumore, allora dovrebbe preservare la sua universalità.

Una rapida panoramica dello stato dell'arte è la seguente.

  1. La regola di Toom può salvare un po 'per sempre i guasti che si verificano indipendentemente l'uno dall'altro con una piccola probabilità.
  2. È stato ampiamente creduto (la congettura dei tassi positivi) che tutte le 1 CA deboli sono ergodiche fino a quando P. Gacs ha costruito la sua CA multi-scala in grado di simulare qualsiasi altra CA con moderato sovraccarico anche se soggetta al suddetto rumore.
  3. La domanda se la regola G (acs) K (urdiumov) L (evin) può salvare un po 'per sempre in presenza del rumore sopra è ancora aperta. Kihong Park - uno studente di Gacs - ha dimostrato che non lo farà, quando il rumore è distorto.
  4. Quando il lavoro in 2 è stato pubblicato, M. Blum ha chiesto se una TM può portare avanti il ​​suo calcolo se ad ogni passo, la transizione non viene eseguita in base alla funzione di transizione con una piccola probabilità indipendentemente da altre fasi, supponendo che le informazioni memorizzate su il nastro lontano dalla testa non si deteriora. Una risposta positiva è stata data da I. Capuni (un altro studente di Gacs) nel 2012.

"Se non è ergodico, allora conserverà la sua universalità" ... hai qualche prova per questa affermazione? È un teorema? Dove è dimostrato? Credo che il lavoro di Gacs dimostri che ciò è vero in almeno un caso, ma non vedo come ciò provi per il gioco della vita di Conway.
Peter Shor,

Grazie per averlo segnalato. Non è un teorema ma un'interessante domanda aperta. Non essere ergodico sembra troppo poco per chiedere una dichiarazione così forte.
user8719

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Per i principianti, tieni presente che la ricerca nel gioco della vita di Conway è ancora in corso e gli sviluppi futuri potrebbero presentare una soluzione molto meno complicata.

Ora quindi. È interessante notare che questo argomento è in linea con la biologia e la fisica quantistica come con l'informatica tradizionale. La domanda alla radice della questione è se qualsiasi dispositivo può effettivamente resistere ad alterazioni casuali al suo stato. La risposta semplice e chiara è che è impossibile realizzare una macchina del genere che sia perfettamenteresistente a tali cambiamenti casuali. Certamente, questo è vero più o meno allo stesso modo in cui la meccanica quantistica potrebbe causare eventi apparentemente impossibili. Ciò che impedisce che si verifichino questi eventi (portando la maggior parte delle persone a dichiararli assolutamente impossibili) è la incredibilmente piccola probabilità che un tale evento abbia luogo. Una probabilità resa così piccola dalla grande differenza di scala tra il livello quantico e il livello umano. Allo stesso modo è possibile realizzare una macchina a stati resistente a piccoli cambiamenti casuali semplicemente rendendola così grande e ridondante che qualsiasi "cambiamento" notato è effettivamente zero, ma si presume che questo non sia l'obiettivo. Supponendo che ciò possa essere realizzato nello stesso modo in cui animali e piante sono resistenti alle radiazioni o ai danni fisici.

Quindi la domanda potrebbe non essere come impedire che i disturbi di basso livello causino troppi danni, ma piuttosto come recuperare il maggior danno possibile. È qui che la biologia diventa rilevante. Gli animali e le piante hanno effettivamente questa stessa capacità a livello cellulare. (Nota: sto parlando di cellule in senso biologico in questa risposta) Ora, nel gioco della vita di Conway, l'idea di costruire un dispositivo di calcolo su scala di singole cellule è accattivante (dopotutto, rende tali creazioni molto più piccole ed efficienti), ma mentre possiamo costruire computer autoriproducenti ( vedi Gemelli ), Questo ignora il fatto che l'oggetto costruttore stesso potrebbe essere danneggiato da disturbi.

Un altro modo, più resistente, che posso vedere per risolvere questo è quello di costruire computer partendo da parti ridondanti auto-riproducenti (pensate alle cellule biologiche) che eseguono le loro operazioni, si riproducono e vengono sostituite.

A questo punto possiamo vedere un altro interessante parallelo del mondo reale. Questi disturbi di basso livello sono simili agli effetti delle radiazioni. Ciò è particolarmente apprezzabile se si considera il tipo di danno che può essere fatto agli automi cellulari. È facile innescare il fallimento a cascata o la "morte" di una cellula in Conway's Game of Life, più o meno come accade a molte cellule esposte alle radiazioni. Ma esiste la possibilità peggiore di mutazione, creando una cellula "cancerosa" che continua a riprodurre copie difettose di se stessa che non aiutano nel processo computazionale o producono risultati errati.

Come ho già detto, è impossibile costruire un sistema completamente a prova di errore, puoi solo renderlo sempre meno probabile che un guasto comprometta l'intero sistema. Naturalmente, la domanda fondamentale qui è davvero "sono le stesse simulazioni probabilistiche di Turing complete" che è già stato deciso di essere vero . Inizialmente avrei risposto a quella domanda fondamentale, salvo che non era quello che mi hai chiesto.


Wow! Grazie per il drive-by-downvote! In ogni caso, ho rivisto il mio post, aggiungendo alcune informazioni e fonti. Mi dispiace non aver avuto il tempo di farlo quando l'ho pubblicato per la prima volta. Potrei modificare ulteriormente questa risposta per adeguarla agli standard della comunità, se non fosse per il fatto che non è stato fornito alcun motivo per il voto negativo.
Hawkwing,

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Come non votante, non vedo come questo risponda alla domanda di Gil. Sostieni la domanda se "qualsiasi dispositivo può effettivamente resistere ad alterazioni casuali al suo stato", che non è quello che Gil ha chiesto.
András Salamon,

Grazie (non sarcasticamente questa volta) per il commento, András Salamon. Lo voterei utile, ma sono ancora un nuovo utente su questo sito di overflow. Ad ogni modo, mi dispiace che la mia risposta sembri off-topic. Forse ho affrontato la domanda più liberamente di quanto avessi previsto, ma ritengo che la mia risposta risponda alla domanda originale rispondendo a una domanda simile e quindi disegnando parallelismi tra i due. È forse troppo rotonda una risposta?
Hawkwing,

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Mi viene in mente xkcd 505: A Bunch of Rocks .

Qualsiasi computer del mondo reale è soggetto a un certo livello di rumore. Una simulazione di un computer universale nell'universo infinito ideale di Conway avrà un tempo medio tra i guasti che dipendono dai dettagli ingegneristici del suo design. Calcolerà in modo affidabile per un periodo probabilisticamente quantificabile, inarrestabilmente per un periodo di accumulo di errori, e quindi per niente .

Mi aspetterei che una logica fuzzy o un modello di sovrapposizione quantistica dimostrino chiaramente quale affidabilità ci si dovrebbe aspettare da una particolare costruzione. Si potrebbe voler simulare gli output previsti di vari componenti, piuttosto che iterare su tutte le loro celle, a qualunque livello possano essere isolati l'uno dall'altro. Si potrebbe essere in grado di quantificare le interferenze previste dai componenti guasti. Un algoritmo genetico dovrebbe essere il modo migliore per sviluppare componenti {tolleranti, resistenti, correttivi} con MTBF grandi quanto desiderato per una data distribuzione del rumore.


(voto misterioso qui) Una risposta quantitativa sarebbe molto speculativa. Non può esserci una risposta più precisa di "sì, condizionatamente" senza una sperimentazione approfondita su alcune scelte di implementazione di un UTM. Un computer normale in un ambiente ad alta radiazione è ancora praticamente un UTM, anche se solo brevemente.
user130144
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