Estensione al problema del matrimonio stabile?

Può sembrare più una domanda di scienze sociali che una TCS, ma non lo è. Quando si legge " Algoritmi randomizzati " che descrive il problema del matrimonio stabile, si può leggere quanto segue (p54)

"Si può dimostrare che per ogni scelta di liste di preferenze esiste almeno un matrimonio stabile. (Curiosamente, questo non è il caso di una società monogama omosessuale con un numero pari di abitanti) ...."

Esistono estensioni molto semplici del problema del matrimonio stabile che consente un qualche tipo di stato stazionario che include una società monogama omosessuale o una società in cui un determinato sottoinsieme della popolazione segue un insieme di regole diverso rispetto all'insieme più ampio?

In senso affermativo, ci sono algoritmi che eseguono una tale corrispondenza?

C'è una congettura aperta su 3 tipi di persone. Supponiamo di avere uomini donne e cani in modo che gli uomini abbiano liste di preferenze sulle donne, le donne abbiano liste di preferenze sui cani e i cani abbiano liste di preferenze sull'uomo. C'è sempre un matrimonio stabile?

(Per altre strutture di preferenza nella società di 3 tipi le risposte sono note come negative).

Un altro commento è che il matrimonio stabile rappresenta un nucleo non vuoto e esiste una condizione ben nota da parte di Scarf che implica l'esistenza di un nucleo non vuoto. È noto che le condizioni della sciarpa sono soddisfatte per il problema del matrimonio stabile originale e per il problema di assegnazione della casa. (Ma fallito per il problema uomini / donne / cani).

Alcuni riferimenti:

• Un riferimento al documento di Scarf: HE Scarf, The core of an person game, Econometrica 35 (1967) 50--69.$N$
• Un documento che mostra varie applicazioni per il lemma cruciale di Scarf e ne cita alcuni altri: (In particolare, viene descritta una versione frazionaria del teorema di Gale-Shapley per gli ipergrafi di Aharoni e Holzman): R. Aharoni e T. Fleiner, On a lemma di sciarpa, J. Combin. Teoria Ser. B 87 (2003), 72--80.
• Una soluzione del problema tra uomini e donne e cani quando ci sono al massimo 4 di ogni genere appare in un articolo di Eriksson et al (Math Soc Sci 2006).

Quello che stai chiedendo non è più chiamato "Problema del matrimonio stabile". Al contrario, si chiama "Problema di coinquilini stabili". Secondo Wikipedia :

In matematica, specialmente nei campi della teoria dei giochi e della combinatoria, il problema del compagno di stanza stabile (SRP) è il problema di trovare una corrispondenza stabile - una corrispondenza in cui non vi è una coppia di elementi, ciascuno proveniente da un diverso insieme abbinato, in cui ciascun membro della coppia preferisce l'altro alla loro partita. Ciò è diverso dal problema del matrimonio stabile in quanto il problema dei coinquilini stabili non richiede che un set sia suddiviso in sottoinsiemi maschili e femminili. Qualsiasi persona può preferire chiunque nello stesso set.

È comunemente indicato come:

In un dato caso del problema dei coinquilini stabili (SRP), ciascuno dei 2n partecipanti classifica gli altri in ordine di preferenza rigoroso. Una corrispondenza è un insieme di n coppie di partecipanti disordinate (non ordinate). Una M corrispondente in un'istanza di SRP è stabile se non ci sono due partecipanti xey, ciascuno dei quali preferisce l'altro al suo partner in M. Tale coppia si dice per bloccare M, o per essere una coppia bloccante rispetto a M.

Wikipedia discute la risposta alla tua domanda. Dice che il caso stabile non può essere sempre trovato, eppure esiste un algoritmo efficiente, dovuto Irving (1985), che troverà tale corrispondenza se ce n'è uno.

Modificare:

All'SRP sono concepibili diversi rilassamenti naturali: invece di richiedere che "non ci siano due partecipanti xey, ognuno dei quali preferisce l'altro al suo partner in M", si può richiedere che:

1. Almeno una certa parte delle persone è soddisfatta dei propri coinquilini. Qui, la soddisfazione può essere interpretata in modo diverso. Per esempio:
   • Si dice che una coppia (x, y) è soddisfatta se y è la prima scelta di xe viceversa.
   • Si dice che una coppia (x, y) è soddisfatta se una di x o y è la prima scelta di un'altra.
   • Si dice che una coppia (x, y) non è soddisfatta se esiste una coppia (z, w) tale che x piaccia a z più di y e che a z piaccia x più di w.
   • ...
2. Al massimo una certa parte delle persone non è soddisfatta dei propri coinquilini. (Questo requisito potrebbe essere diverso da quanto sopra a seconda dell'interpretazione della soddisfacibilità .)

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