La meta-indecidibilità è possibile?

Ci sono problemi che sono decidibili, alcuni sono indecidibili, c'è semidecidibilità, ecc.

In questo caso mi chiedo se un problema possa essere meta-indecidibile. Questo significa (almeno nella mia testa) che non possiamo dire se è decidibile o no.

Forse è noto che la decidibilità è indecidibile (tutto è meta-indecidibile) e non esiste alcun algoritmo per dimostrare la decidibilità per nulla, quindi la decidibilità deve essere dimostrata a mano caso per caso.

Forse la mia domanda non ha senso. Forse suppongo che siamo macchine a carbone che eseguono algoritmi molto complessi ed è per questo che la domanda ha senso solo nella mia testa.

Per favore fatemi sapere se la domanda necessita di ulteriori chiarimenti. Potrei averne bisogno anche io in questo momento.

Grazie.

computability decidability undecidability

— Trylks
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Consideriamo l'affermazione "la teoria monadica (di secondo ordine) di tutti gli ordini lineari è calcolabile". Ci sono ragioni per credere (ma non sono sicuro che sia stata provata l'indipendenza) che questa affermazione è indipendente (cioè indecidibile) in ZFC. Maggiori dettagli sui motivi sono disponibili in books.google.es/books?id=y3YpdW-sbFsC&pg=PA397

— boumol

Quando dici "la decidibilità è indecidibile", qual è l'input?

— Mahdi Cheraghchi,

Potrebbe anche essere interessato a en.wikipedia.org/wiki/Turing_degree, ma non è chiaro da come viene formulata la domanda. :)

— Daniel Apon,

@boumol Shelah ("La teoria monadica dell'ordine", Ann. Math. 102 (3), 1975) ha dimostrato (assumendo CH) che "la teoria monadica dell'ordine è indecidibile" (Teorema 7 (B), p. 409).

— Yuval Filmus,

L = {\begin{cases} halting problem & if the continuum hypothesis holds \\ \emptyset & otherwise \end{cases}

$L = \begin{cases} \text{halting problem} & \text{if the continuum hypothesis holds} \\ \emptyset & \text{otherwise} \end{cases}$

— sdcvvc

Risposte:

Ecco un breve schizzo per dimostrare che non esiste una macchina di Turing per decidere se una classe arbitraria di problemi è decidibile.

Dovrei chiarire cosa intendo per classe di problemi: una classe di problemi è una macchina di Turing che elenca gli elementi (numeri naturali, diciamo) di un insieme ricorsivamente enumerabile uno dopo l'altro, in modo tale che ogni elemento dell'insieme venga infine stampato . Il problema intuitivamente colto da è: "è il numero in questo set?". Questo cattura i soliti problemi nel campo della calcolabilità, come "è l'indice di una macchina di Turing che si ferma su input vuoto?". $T$ $T(n)$ $n$

$M$ $T$ $\mathit{true}$ $\mathit{false}$

$T$ $T'$

$T$ $M(T')$ $\mathit{false}$

$T$ $T'$ $M(T')$ $\mathit{true}$

$M(T')$ $\mathit{true}$ $T$ $\mathit{false}$ $M$ $T$

— cody
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Ehi Cody! Spero tu stia bene. Sarai a Pittsburgh quest'estate?

— Michael Wehar,

Hey! Non ne sono sicuro. Inviami una e-mail però!

— cody

Un'idea davvero fantastica!

Idea: possiamo sfruttare l'assioma della comprensione nella teoria degli insiemi ZF per definire un linguaggio che dipende da un'affermazione indipendente.

Passaggio 1: prendi la tua affermazione preferita indipendente da ZF come AC - l'assioma di scelta.

Passaggio 2: definire una lingua L = {x in {0,1} | x = 0 se AC e x = 1 se NON AC}. Si noti che L è {0} o {1}. Ora, L è decidibile, ma non siamo in grado di fornire con certezza un programma che decide L. Potremmo fornire il programma che decide {0} o potremmo fornire il programma che decide {1}, ma non sappiamo con certezza quale si decide L.

Passaggio 3: utilizzare questa idea per definire una lingua che è decidibile se AC e indecidibile se NON AC. Sia H il set di arresto che è indecidibile. Definisci L = {x | x è una stringa se AC e x è in H se NON AC}. Se AC, allora L = l'insieme di tutte le stringhe e L è decidibile. Se NON AC, allora L = H e L sono indecidibili. Se L sia o meno decidibile è indipendente da ZF.

— Michael Wehar
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