Complessità della funzione esponenziale

Sappiamo che la funzione esponenziale sui numeri naturali non è calcolabile nel tempo polinomiale, perché la dimensione dell'output non è limitata polinomialmente nella dimensione degli input. $\exp(x,y) = x^y$

È questo il motivo principale della difficoltà di calcolare la funzione esponenziale o è esponenziale intrinsecamente difficile da calcolare, indipendentemente da questa considerazione?

Qual è la complessità del grafico a bit della funzione esponenziale?
${⟨ x, y, i ⟩ ∣ x, y, i \in N and the i -th bit of x^{y} is 1}$ $\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$

cc.complexity-theory nt.number-theory

— Peter
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Ho cambiato il concetto di "EXP" in "L", poiché EXP è il nome di una famosa classe di complessità e può creare confusione.

— MS Dousti,

Se è limitato a una potenza di 2, allora è . Anche il grafico dell'esponente ha una bassa complessità.

x

$x$

L

$L$

A C^{0}

$AC^0$

Γ e x p = {(x, y, z) : x^{y} = z}

$\Gamma exp=\{(x,y,z) : x^y=z\}$

— Kaveh,

Sadeq: Se vuoi evitare le classi di complessità, L non è in alcun modo migliore di EXP ... Modificato in X.

— Peter

@Peter: Nel contesto, L è sicuramente un "linguaggio" piuttosto che la classe di complessità spazio-log. Comunque, X è una scelta molto migliore.

— MS Dousti,

@Kaveh: la domanda afferma che si tratta della funzione esponenziale sui numeri naturali.

— Tsuyoshi Ito,

Risposte:

Ecco alcuni limiti superiori.

Ripetendo la quadratura, il problema è in PSPACE.

C'è un limite superiore leggermente migliore. Il problema è un caso speciale del problema BitSLP: dato un programma in linea retta a partire da 0 e 1 con addizione, sottrazione e moltiplicazione che rappresentano un numero intero N e dato i ∈ℕ, decidere se l' i -bit (contando dal il bit meno significativo) della rappresentazione binaria di N è 1. Il problema BitSLP è nella gerarchia di conteggio ( CH ) [ABKM09]. (Si afferma in [ABKM09] che si può dimostrare che il problema BitSLP è in PH ^{PP ^{PP ^{PP ^PP}}} .)

L'appartenenza a CH è spesso considerata una prova del fatto che è improbabile che il problema sia difficile per PSPACE, poiché l'uguaglianza CH = PSPACE implica che la gerarchia dei conteggi collassa. Tuttavia, non so quanto forte sia considerata questa prova.

Per quanto riguarda la durezza, BitSLP è mostrato come # P-hard nella stessa carta [ABKM09]. Tuttavia, la prova non sembra implicare alcuna durezza del linguaggio X nella domanda.

Riferimenti

[ABKM09] Eric Allender, Peter Bürgisser, Johan Kjeldgaard-Pedersen e Peter Bro Miltersen. Sulla complessità dell'analisi numerica. SIAM Journal on Computing , 38 (5): 1987-2006, gennaio 2009. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

— Tsuyoshi Ito
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Non una risposta completa, ma almeno parziale.

Noto che le due risposte apparse finora non hanno menzionato il fatto che esiste un algoritmo per il calcolo dell'esponenziale modulare dove è il numero di bit in e dove è l'esponente corrispondente all'algoritmo di moltiplicazione più veloce. Quindi i bit meno significativi dell'esponenziale possono essere calcolati in modo efficiente (in o meno). $O(n^{1+\omega})$ $x^y ~\mbox{mod }z$ $n$ $z$ $\omega$ $O(n^3)$

Il modo per farlo è abbastanza semplice: puoi calcolare , , . Chiaramente , e così , ma dato che ci sono solo termini questo richiede solo moltiplicazioni. $c_1 = x$ $c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$ $x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$ $n$ $c_j$ $n$

Inoltre, possiamo scrivere come , quindi i bit più significativi che corrispondono approssimativamente a possono anche essere calcolati in modo efficiente poiché dipende dal bit più significativo di . $x^y$ $(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$ $2^{ny}$ $x$

Quindi gli unici termini del problema reale sono causati da bit verso il centro di . $x^y$

— Joe Fitzsimons
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C'è una relazione interessante tra questa risposta e la mia. Se non sbaglio, una visione d'insieme dell'algoritmo in [ABKM09 ] citata nella mia risposta è quella di combinare questa idea con il teorema del resto cinese per ottenere bit più alti.

— Tsuyoshi Ito,

Ah, non me ne ero reso conto.

— Joe Fitzsimons,

[Questa risposta spiega alcuni aspetti interessanti della risposta di Per Vognsen . Non è una risposta diretta alla domanda del PO, ma può aiutare a risolvere tali domande.]

$i$ $\pi$ $i-1$

$i$ $\pi$ $\rm SC$

$\rm SC$

— MS Dousti
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