trovare gli elementi k più piccoli nell'array in O (k)

Questa è una domanda interessante che ho trovato sul web. Dato un array contenente n numeri (senza informazioni su di essi), dovremmo preelaborare l'array in tempo lineare in modo da poter restituire i k elementi più piccoli nel tempo O (k), quando ci viene dato un numero 1 <= k <= n

Ho discusso questo problema con alcuni amici ma nessuno è riuscito a trovare una soluzione; Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato!

note rapide: -l'ordine dei k elementi più piccoli non è importante -gli elementi nell'array sono numeri, potrebbero essere numeri interi e potrebbero non essere (quindi nessun ordinamento radix) -il numero k non è noto nella fase di pre-elaborazione. la preelaborazione è O (n) tempo. la funzione (trova k elementi più piccoli) nel tempo O (k).

Elaborare in anticipo l'array di valori nel tempo O ( n ) :$n$$O(n)$

• $i\leftarrow n$
• mentre $i>2$
  • Calcola la mediana di A [ 1 .. i ] nel tempo O ( i $m$$A[1..i]$$O(i)$
  • partizione in A [ 1 .. i / 2 - 1 ] ≤ m e A [ i / 2 + 1 .. i ] ≥ m contemporaneamente.$A[1..i]$$A[1..i/2-1] \leq m$$A[i/2+1..i]\geq m$
  • $i \leftarrow \lfloor i/2 \rfloor$

Il tempo totale precomputation è a $O(1+2+4+...+n)\subseteq O(n)$

Rispondi a una query per i elementi più piccoli in A nel tempo O ( k ) :$k$$A$$O(k)$

• $l\leftarrow \lfloor \log_2 k \rfloor$
• seleziona il th elemento x di A [ 2 l . .2 l + 1 ] nel tempo O ( 2 l ) ⊆ O ( k $(k-2^l)$$x$$A[2^l..2^{l+1}]$$O(2^l)\subseteq O(k)$
• partizione di x contemporaneamente$A[2^l..2^{l+1}]$$x$

contiene i k elementi più piccoli.$A[1..k]$$k$

Riferimenti:

• Nel 1999, Dor e Zwick hanno dato un algoritmo per calcolare la media di elementi nel tempo all'interno 2.942 n + O ( n ) confronti, che produce un algoritmo per selezionare il k -esimo elemento di n elementi non ordinati in meno di 6 n confronti.$n$$2.942 n + o(n)$$k$$n$$6n$

$n = 2^m$$2^{m-1},2^{m-2},2^{m-3},\ldots,1$$k$$t$$2^{t-1} \leq k \leq 2^t$$2^t \leq 2k$$2^t$$k$$O(2^t) = O(k)$

$\Theta(n\log n)$

while n > 0:
  find the (lower) median m of A[0..n-1]
  partition A in-place so that A[n/2-1] = m
  n = n/2

$n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 < 2n$$A$$k$$A[0..n/2^k-1]$$n/2^k$

$O(n)$$O(k)$$k$

Frederickson, Greg N. , Un algoritmo ottimale per la selezione in un min-heap , Inf. Comput. 104, n. 2, 197-214 (1993). ZBL0818.68065 ..

$k$$k$