Nuovo algoritmo per il registro discreto e le sue implicazioni per il calcolo quantistico

È uscito un nuovo articolo che rivendicava un algoritmo quasi polinomiale per il logaritmo discreto. http://arxiv.org/abs/1306.4244

Se corretto, significa che non abbiamo più una separazione esponenziale nella complessità di un algoritmo classico e della sua versione quantistica per il problema del logaritmo discreto? Ciò ha implicazioni per la teoria della complessità quantistica?

Bene, un'osservazione cruciale è che il nuovo algoritmo apparentemente funziona solo per gruppi della forma dove p è piccolo --- non dà una velocità per i gruppi della forma Z p . Quest'ultima è l'impostazione molto più comune di cui le persone parlano, sia per la crittografia che per l'algoritmo di Shor, e il nuovo algoritmo non minaccia la velocità quantica lì. D'altra parte, sì, a meno che non mi sbagli, questo rende l'accelerazione molto più piccola nel caso Z p k .$Z_{p^k}$$p$$Z_p$$Z_{p^k}$

$k = O (q)$$n^{O (\log n)}$$F_{q^k}$$k = O (q)$. Più in generale, l'algoritmo ha complessità$L_{q^k} (\alpha, O (1))$ in campi limitati $F_{q_k}$ con $q \sim L_{q^k} (\alpha)$. Batte algoritmi classici precedenti per$\alpha < 1 / 3$.

L'algoritmo di Shor è ancora molto più veloce, ma la domanda sulla velocità esponenziale dipende in realtà dalla definizione di "esponenziale". (Anche NFS / FFS erano tempi esponenziali.)