Classi di grafici per le quali è possibile calcolare il diametro in tempo lineare

Ricordiamo il diametro di un grafo è la lunghezza di un percorso più lungo più breve in . Dato un grafico, un ovvio algoritmo per il calcolo risolve il problema del percorso più breve di tutte le coppie (APSP) e restituisce la lunghezza del percorso più lungo trovato.$G$$G$$\text{diam}(G)$

È noto che il problema APSP può essere risolto in un tempo O (n ^ 2) ottimale $O(n^2)$per diverse classi di grafici. Per i grafici generali, esiste un approccio teorico algebrico in esecuzione nel tempo $O(M(n) \log n)$ , dove $M(n)$ è il limite per la moltiplicazione della matrice. Tuttavia, calcolare il diametro non è apparentemente collegato in modo critico ad APSP, come mostrato da Yuster .

Sono note alcune classi di grafici non banali per le quali il diametro può essere calcolato ancora più velocemente, diciamo in tempo lineare?

Sono particolarmente interessato ai grafici cordali e alle eventuali sottoclassi di grafici cordali come i grafici a blocchi. Ad esempio, penso che il diametro di un grafico cordale $G$ possa essere calcolato in tempo $O(n+m)$ , se $G$ è rappresentabile in modo univoco come un albero di cricca. Tale grafico è anche noto come ur-chordal .

L'eccentricità di un vertice è la lunghezza di un percorso più lungo più breve a partire da . Il diametro è la massima eccentricità su tutti i vertici. Qualsiasi BFS da un vertice stabilirà la sua eccentricità. Un'idea chiave per un efficiente rilevamento del diametro è quindi di preelaborare il grafico per trovare un piccolo insieme di vertici, almeno uno dei quali raggiunge la massima eccentricità.$v$$v$

Eseguendo una prima ricerca lessicografica , il vertice finale presenta spesso un'eccentricità elevata. In particolare, è garantito che abbia eccentricità al massimo uno in meno del diametro per i grafici cordali. Per alcune sottoclassi di grafici cordali come i grafici ad intervallo , è garantita la massima eccentricità. Ciò vale anche per alcune classi non accordali, come senza glutine grafici.$\{\text{AT},\text{claw}\}$

LBFS e BFS sono entrambi lineari nella dimensione del grafico, ma ovviamente se (come ) il tempo di esecuzione non sarà . La tua discussione implica che probabilmente vuoi davvero un algoritmo lineare piuttosto che .$m = \Omega(n^2)$$K_n$$o(n^2)$$O(m+n)$$o(n^2)$

Quindi per alcune sottoclassi di grafici cordali, un algoritmo lineare consiste nell'eseguire LBFS, prendere il vertice finale, quindi eseguire BFS a partire da quel vertice. Per i grafici cordali questo determinerà il diametro con un errore al massimo di 1. I grafici per i quali questo è esatto sembrano essere quelli in cui i poteri pari sono cordali. Questi sono precisamente quei grafici cordali che non contengono sole nascente o che mantengono le distanze.$(\text{rising sun}- K_2)$

_{(fonte: graphclasses.org )}

• Feodor F. Dragan, Falk Nicolai e Andreas Brandstädt, ordinazioni LexBFS e poteri dei grafici , WG 1996, LNCS 1197, 166–180. doi: 10.1007 / 3-540-62559-3_15

Non so se questo può essere esteso per calcolare con precisione il diametro di tutti i grafici cordali. L'indagine di Corneil sembra indicare che questo era ancora aperto nel 2004. Inoltre non so se sia stata fatta un'analisi sull'estensione della ricerca da un vertice a un piccolo numero costante o vertici iniziali; questo potrebbe essere interessante da esplorare.$\log n$

• Derek G. Corneil, Lexicographic Breadth First Search - A Survey , WG 2004, LNCS 3353, 1–19. doi: 10.1007 / 978-3-540-30559-0_1

I grafici a blocchi citati nella domanda sono ereditari a distanza. Un algoritmo di tempo lineare per calcolare il diametro per i grafici ereditari della distanza è riportato in [1] (vedere Teorema 5).

[1] Dragan, Feodor F. Cricche dominanti nei grafici ereditari a distanza. Springer Berlin Heidelberg, 1994.