È

Nel sondaggio "Circuiti quantistici di piccola profondità" di D. Bera, F. Green e S. Homer (p. 36 di ACM SIGACT News, giugno 2007 vol. 38, n. 2) , ho letto la seguente frase:

La versione classica di (in cui le porte e hanno al massimo costante dissolvenza) è notevolmente più debole di . $QAC^0$ $AND$ $OR$ $AC^0$

Manca un riferimento per questa affermazione. Chiamerò questa classe , dove sta per "fanout limitato". (Lo zoo di complessità non funziona e non posso verificare se tale classe abbia già un nome in letteratura). Se assumiamo un fanout illimitato per i bit di input, allora questi circuiti sembrano equivalere a formule di profondità costante fino a un aumento polinomiale delle dimensioni, quindi la rivendicazione di cui sopra non ha senso. Invece, se assumiamo un fanout limitato per i bit di input, non riesco a pensare a nessun linguaggio che separa questa classe da . Un possibile candidato potrebbe essere la lingua , ovvero la lingua delle stringhe con una sola 1. È facile mostrare $AC^0_{bf}$ $bf$ $AC^0$ $X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$ $X \in AC^{0}$ , ma non sono riuscito a dimostrare che . $X \notin AC^{0}_{bf}$

Le domande sono:

È in realtà più debole di ? Se lo è, qualche idea o qualche riferimento su come dimostrarlo? E qual è una lingua che separa queste due classi? Che mi dici di ? $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $X$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Alessandro Cosentino
fonte

La limitazione dei fan dei bit di ingresso renderà il circuito di dimensioni lineari. Qualsiasi funzione che richiede dimensioni super-lineari li separerà.

A C^{0}

$AC^0$

— Kaveh,

@Kaveh: Forse potresti ripubblicarlo come una risposta, con forse un esempio di una funzione esplicita che richiede circuiti dimensione super-lineare e forse un riferimento che mostra il limite inferiore della dimensione? (O includi l'argomento nella tua risposta se è molto semplice?)

A C^{0}

$AC^0$

— Robin Kothari,

@Kaveh Grazie. Non sapevo che fosse nota la separazione tra e circuiti a profondità costante di dimensioni lineari (apparentemente chiamati ). Il riferimento è "Restrizioni deterministiche nella complessità dei circuiti" di S. Chaudhuri e J. Radhakrishnan. @Kaveh Puoi fare una risposta al tuo commento?

A C^{0}

$AC^0$

L C^{0}

$LC^0$

— Alessandro Cosentino,

Come discusso nella domanda di follow-up cstheory.stackexchange.com/questions/7447/… ,

è uguale alla formula delle dimensioni lineari.

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— domotorp,

Un limite di fan-out di bit e gate di ingresso renderà lineare la dimensione del circuito. Sia un limite per il fan-out delle porte e degli ingressi. È un DAG con grado massimo fuori limite limitato da e percorso massimo di lunghezza . Il numero di fili disponibili in ciascun livello può aumentare volte e il numero di fili disponibili in alto è , quindi il numero totale di fili nel circuito è al massimo che è . $k$ $k$ $d$ $k$ $kn$ $kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$ $O(n)$

Qualsiasi funzione che richiede dimensioni super-lineari separerà la classe di funzioni con fan-out limitato (applicato anche ai bit di input) da . Ecco alcuni esempi: $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

[CR96]: una funzione che necessita di dimensioni super-lineari è $\mathsf{AC^0}$ Selettore a approssimazioni $\frac{1}{4}$ . A -selettore approssimativo è qualsiasi funzione il cui valore è: $\frac{1}{4}$
- ogni volta che il numero di s è al massimo $0$ $1$ , $\frac{n}{4}$
- ogni volta che il numero di s è al massimo $1$ $0$ , $\frac{n}{4}$
- può essere o altrimenti. $0$ $1$
[Ros08] mostra che il -clique ha la complessità delle funzioni ( bit di input sono possibili bordi di un grafico con vertici). Questo dà una dimensione super linea inferiore per . $k$ $\mathsf{AC^0}$ $n^{\Theta(k)}$ $n^2$ $n$ $k\gt 2$
È probabilmente possibile generalizzare l'esempio in 2 can all'esistenza di qualsiasi sottostruttura indotta fissa non banale (che richiede più di un bit) in una data struttura non ordinata, ad esempio:
- esistenza di un percorso di lunghezza 2 in un dato grafico,
- , $\#_1(x)=2$
poiché richiedono un numero super costante di gate a seconda di un bit che non è possibile in . $\mathsf{AC^0_{bf}}$
L'esempio più semplice è un gate duplicatore, ovvero un gate che crea copie del suo bit di input. Ciò non è possibile in poiché solo delle porte può dipendere da ciascun bit di ingresso. $\omega(1)$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $O(1)$

Inoltre qualsiasi circuito di dimensione può essere trasformato in una formula di dimensione al massimo e quindi ha una formula di dimensione quindi qualsiasi funzione di superlineare la complessità della formula non sarà in . $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $S$ $k^dS$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $k^{2d+1}n$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$

Riferimenti:

[CR96] S. Chaudhuri e J. Radhakrishnan, " Restrizioni deterministiche nella complessità dei circuiti ", 1996

[Ros08] Benjamin Rossman, " Sulla complessità a profondità costante di k-Clique ", 2008

[Juk] Stasys Jukna, " Complessità booleana delle funzioni: anticipi e frontiere ", bozza

— Kaveh
fonte

Una separazione più recente tra

segue da questo risultato a causa di Benjamin Rossman. Mostra che per tutte le costanti

(anche alcune crescenti

) e costanti

, qualsiasi circuito di profondità

per

-clique su un grafico

vertice deve avere dimensioni

. Ciò implica che la gerarchia delle lingue accettata dai circuiti

di dimensione

(per diversi

L C^{0}

$LC^0$

A C^{0}

$AC^0$

k

$k$

k

$k$

d

$d$

d

$d$

k

$k$

n

$n$

Ω (n^{k / 4})

$\Omega(n^{k/4})$

A C^{0}

$AC^0$

n^{k}

$n^k$

k

$k$ ) è in realtà infinito.

— Srikanth,

Ho aggiornato la risposta, grazie ad Alessandro, domotorp, Robin, Srikanth e Stasys.

— Kaveh,

@Kaveh: Va bene, grazie. Se trovi un modo per modificare il risultato di Rossman, sarò interessato a sentirlo. Per quanto riguarda la funzione soglia-2, penso che possiamo mostrare che non è in questa classe notando che tutte le funzioni in questa classe hanno formule di dimensioni lineari e che la soglia-2 ha un limite inferiore di dimensione della formula di

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

— Robin Kothari,

P_{k}

$P_k$

k

$k$

A C^{0}

$AC^0$

2^{k} n^{O (1)}

$2^kn^{O(1)}$

A C^{0}

$AC^0$