Numero massimo di percorsi st interni dispari vertici disgiunti vertice

Sia un grafico semplice non orientato e$G$$s,t \in V(G)$ siano vertici distinti. Lascia che la lunghezza di un percorso st semplice sia il numero di spigoli sul percorso. Sono interessato a calcolare la dimensione massima di un insieme di percorsi st semplici in modo tale che ogni percorso abbia una lunghezza dispari, e gli insiemi di vertici di ciascuna coppia di percorsi si intersecano in modo accoppiato solo in s e t. In altre parole, sto cercando il numero massimo di percorsi st interni di lunghezza dispari vertici-disgiunti. Penso che questo dovrebbe essere tempo polinomiale calcolabile mediante tecniche di matching o basate sul flusso, ma non sono stato in grado di elaborare un algoritmo. Ecco cosa so del problema.

1. Possiamo sostituire la restrizione alla lunghezza dispari con una lunghezza pari; questo non influisce realmente sul problema poiché uno si trasforma nell'altro se suddividiamo tutti i bordi incidenti su s.

2. Se non vi sono restrizioni sulla parità dei percorsi, il teorema di Menger fornisce la risposta, che può essere ottenuta calcolando un flusso massimo.

3. Il problema di determinare il numero massimo di cicli di lunghezza dispari vertici-disgiunti che si intersecano in modo accoppiato solo in corrispondenza di un dato vertice v è calcolabile nel tempo polinomiale mediante un trucco di corrispondenza: costruisci un grafico G 'come unione disgiunta di e ( G - N G [ v ] ) , aggiungendo i bordi tra due copie dello stesso vertice; una corrispondenza massima in questo grafico delle dimensioni | V ( G ) | - | N G [ v ] | + k implica che il numero massimo di cicli dispari attraversi$(G - {v})$$(G - N_G[v])$$|V(G)| - |N_G[v]| + k$ è k ; questa costruzione è descritta nella dimostrazione di Lemma 11 diSulla variante dispari-minore della congettura di Hadwiger.$v$$k$

4. Se il grafico è diretto, la verifica dell'esistenza di un singolo percorso della st pari è già NP-completa.

5. L'articolo Il problema del percorso uniforme per grafici e digrafi di Lapaugh e Papadimitriou potrebbe essere rilevante, ma sfortunatamente la nostra biblioteca non si iscrive all'archivio online e non ne abbiamo una copia cartacea.

Eventuali approfondimenti saranno molto apprezzati!

In primo luogo si noti che: dato un grafico , due vertici distinti s , t ∈ V e un intero k , il problema di decidere se esistono k percorsi di lunghezza dispari interni vertici tra s e t è polinomiale equivale a decidere se esistono k percorsi di lunghezza pari tra s e t . La riduzione è semplice. Per ridurre da un caso all'altro, è sufficiente suddividere ciascun bordo adiacente a t . Lascia che G $G=(V,E)$$s,t \in V$$k$$k$$s$$t$$k$$s$$t$$t$$G'$essere il grafico ottenuto. Allora ha k dispari lunghezza percorsi vertici disgiunti tra s e t IFF G ' ha k percorsi vertici disgiunti anche di lunghezza tra s e t .$G$$k$$s$$t$$G'$$k$$s$$t$

Pertanto, se uno di questi problemi è NP-completo, lo è anche l'altro. Ora Itai, Perl e Shiloach mostrano che il problema di decidere se esistono percorsi a vertici disgiunti di lunghezza cinque tra s e t è NP-completo [ La complessità di trovare percorsi massimi disgiunti con vincoli di lunghezza . Reti, Volume 12, Issue 3, pagine 277--286, 1982] La riduzione è da 3SAT e nel grafico costruito, i percorsi di lunghezza dispari fra s e t tutti hanno lunghezza esattamente cinque. Da qui il problema dei percorsi di lunghezza dispari vertici disgiunti in NP-complete, così come i percorsi di lunghezza pari disgiunti vertici.$k$$s$$t$$s$$t$

Spero che sia di aiuto.

(Non è una risposta, ma non posso ancora commentare) Penso che la risposta di cui sopra non funzioni, perché non garantisce che i percorsi sarebbero vertiginosi. Un percorso potrebbe usare u ', e l'altro u "in G'; in G userebbero lo stesso vertice u.