Problema di decisione facile, problema di ricerca difficile

Decidere se esiste un equilibrio di Nash è facile (lo fa sempre); tuttavia, trovarne effettivamente uno è ritenuto difficile (è PPAD-Complete).

Quali sono alcuni altri esempi di problemi in cui la versione della decisione è semplice ma la versione della ricerca è relativamente difficile (rispetto alla versione della decisione)?

Sarei particolarmente interessato ai problemi in cui la versione decisionale è non trivalente (diversamente dal caso dell'equilibrio di Nash).

Dato un numero intero, ha un fattore non banale? -> Non banalmente in P.

Dato un numero intero, trova un fattore non banale, se ce n'è uno -> Non noto per essere in FP.

Ecco un altro esempio: dato un grafico cubico G e un ciclo hamiltoniano H in G, trova un diverso ciclo hamiltoniano in G. Tale ciclo esiste (secondo il teorema di Smith) ma, per quanto ne so, è aperto se può essere calcolato in tempo polinomiale.

Se dai la seguente "libertà" che fai per gli equilibri di Nash, allora:

• Fattorizzazione a numeri interi, in cui il problema decisionale è "Esiste una rappresentazione fattorizzata di questo numero intero?" (banalmente sì), e il problema di ricerca è di produrlo

Un certo numero di problemi reticolari potrebbe plausibilmente adattarsi qui con lo stesso tipo di indennità generosa per la definizione del problema decisionale:

• Shortest Vector Problem (SVP): decidi se esiste un vettore più breve rispetto a trovarlo
• Closest Vector Problem (CVP): decidi se esiste un vettore più vicino rispetto a trovarlo

Naturalmente, questi sono tutti casi in cui la versione della decisione che ho citato non è molto interessante (perché è banalmente il caso). Un problema non altrettanto banale :

• Grafico planare -colorabilità per k ≥ $k$$k \ge 4$

Il problema decisionale della colorabilità del grafico planare 4 è in P. Ma ottenere la prima soluzione lessicograficamente tale è NP-difficile ( Khuller / Vazirani ).

Nota che la proprietà a cui sei veramente interessato è l'auto-riducibilità (o meglio, non auto-riducibilità). Nel problema della colorazione del grafico planare, il problema essenziale è che il metodo di auto-riduzione del caso generale della -colorabilità distruggerà la planarità in un grafico.$k$

Let , il grafico casuale 1 , ... , n , in cui ciascun bordo è indipendentemente presente con probabilità 1 / 2 . Scegliere n 1 / 3 vertici di G uniformemente a caso e aggiungere tutti i bordi tra loro; chiamare il risultante grafico H . Poi H ha una cricca di taglia n 1 / 3 .$G=G(n,1/2)$$1,\ldots,n$$1/2$$n^{1/3}$$G$$H$$H$$n^{1/3}$

Problema di ricerca: trova una cricca di dimensioni di almeno .$10\log n$

One more example; The Subset-sums equality: Given $a_1,a_2,a_3,...,,a_n$ natural numbers with $\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$. The pigeon-hole principle guarantees the existence of two subsets $I, J$ in ${1,2,..., n}$ such that $\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$ (since the are more subsets than possible sums). The existence of polynomial time algorithm for finding sets $I$ and $J$ is a famous open problem.

Subset-sums equality (pigeonhole version)

$n$$n$$2n$$n$$n$) time.) One can easily come up with polynomial time randomized algorithms because of the prime number theorem, and one can derandomize them by assuming some standard number theoretic conjectures (such as Cramer's conjecture), but no unconditionally polynomial time deterministic algorithm is known. Related work was recently done in the Polymath4 project; Tao's blog post on the project is a good summary of it.

At the risk of being slightly off-topic, let me give a simple and natural example of a theory C answer: Eulerian cycles and distributed algorithms.

The decision problem is not completely trivial, in the sense that there are are both Eulerian and non-Eulerian graphs.

There is, however, a fast and simple distributed algorithm that solves the decision problem (in the sense that for yes-instances all nodes output "1" and for no-instances at least one node outputs "0"): each node just checks the parity of its own degree and outputs 0 or 1 accordingly.

But if you would like to find a Eulerian cycle (in the sense that each node outputs the structure of the cycle in its own neighbourhood), then we need essentially global information on the graph. It shouldn't be hard to come up with a pair of examples that shows that the problem requires $\Omega(n)$ communication rounds; on the other hand, $O(n)$ rounds is enough to solve any problem (assuming unique IDs).

In summary: $O(1)$-time decision problem, $\Theta(n)$-time search problem, and this is the worst possible gap.

Edit: This implicitly assumes that the graph is connected (or, equivalently, that we want to find an Eulerian cycle in each connected component).

Finding Tverberg partitions is of unknown complexity:

Theorem: Let $x_1,x_2,\dots, x_m$ be points in $R^d$, $m \ge (r-1)(d+1)+1$. Then there is a partition $S_1,S_2,\dots, S_r$ of ${1,2,\dots,m}$ such that $\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$.

Like with Nash equilibria, the partition is guaranteed by the theorem, but it's not known if a polytime algorithm exists to find one.

Gil Kalai wrote a wonderful series of posts on this topic: One, Two and Three.

In all the examples above the decision problem is in P and the search problem is not known to be in P but not known to be NP-hard either. I want to point out that it is possible to have an NP-hard search problem whose decision version is easy.

Consider the generalized satisfiability problem for given relations $R_1,\ldots,R_k$ over Boolean domain $\{0,1\}$. An instance is an expression of the form

It was shown by Reith and Vollmer here that there exists a choice of relations $R_1,\ldots,R_k$ that make this problem NP-hard (actually OptP-complete) but keep the satisfiability problem easy (quite trivial actually). An example given in the paper is $R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$ (here $k = 1$). Once the satisfiability problem is solvable in polynomial-time, the question whether there exists a lexicographically minimal satisfying assignment is trivial.

See Corollary 13 and the example following it in the paper above (at least in this on-line version).

• Decision version is (highly) non-trival in P: $k$-colourability ($k$ fixed) on graphs without induced path with five vertices; due to this paper.
• Search version is NP-hard: Finding the chromatic number of graphs without induced path with five vertices; due to this paper.

Take a "pairing-friendly" elliptic curve. That is, a curve that has a one bilinear map $e$ associated with it - with $e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$ such that $e$ is difficult to invert).

Such pairings are used widely in cryptography, partially since given $e$, it is trivial to solve Decisional Diffie-Hellman (given $(g, h, g^a, h^b)$, decide if $a = b$: just verify whether $e (g, h^b) = e (h, g^a)$). However, it is still conjectured that the search/computational Diffie-Hellman problem is difficult.

Such groups are also generalized to "gap groups".

I guess Planar Perfect Matching got missed out from this list.

• The decision version is in NC (even the counting version is in $\mathsf{NC}$) by a parallel version (see Mahajan-Subramanya-Vinay) of Kastelyn's algorithm
• The search version remains unparallelised to date i.e there is no known deterministic $\mathsf{NC}$ algorithm for this problem (though if we drop either of the parallel or deterministic restrictions there are well known algorithms - Edmonds and Mulmuley-Vazirani-Vazirani/Karp-Upfal-Wigderson, respectively.

Let's notch up the complexity a bit.

Many decision problems about vector addition systems (VAS) are EXPSPACE-complete, but may require much larger witnesses. For instance, deciding whether the language of a VAS is regular is EXPSPACE-complete (e.g. Blockelet & Schmitz, 2011), but the smallest equivalent finite-state automaton might be of Ackermannian size (Valk & Vidal-Naquet, 1981). The explanation behind this huge gap is that there exist much smaller witnesses of non-regularity.