Algoritmi di tempo esponenziale esatto per programmazione 0-1

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Esistono algoritmi noti per il seguente problema che battono l'algoritmo ingenuo?

Input: A sistema di disuguaglianze lineari. $Ax \le b$ $m$

Output: una soluzione fattibile se ne esiste una. $x^*\in \{0,1 \}^n$

Supponiamo che e abbiano voci intere. Sono interessato ai limiti del caso peggiore. $A$ $b$

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

— Austin Buchanan
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Se è superlineare, un tale algoritmo confuterebbe l'ipotesi del tempo esponenziale forte, poiché le formule in forma normale congiuntiva sono un caso speciale di programmazione 0-1 e il Lemma di sparsificazione ci consente di ridurre -SAT a CNF-SAT in modo lineare su molte clausole . $m$ $k$

Tuttavia, esiste un algoritmo dovuto a Impagliazzo, Paturi e me stesso che può risolvere un tale sistema di disuguaglianze se il numero di fili, ovvero il numero di coefficienti diversi da zero in è lineare. In particolare, se il numero di fili è , l'algoritmo viene eseguito nel tempo , dove $A$ $cn$ $2^{(1-s)n}$ . $s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

— Stefan Schneider
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Se è abbastanza piccolo, puoi fare di meglio dell'algoritmo ingenuo, cioè meglio di volte. Qui "abbastanza piccolo" significa che è più piccolo di qualcosa come . Il tempo di esecuzione sarà comunque esponenziale, ad esempio potrebbe essere volte, ma sarà più veloce dell'algoritmo ingenuo. $m$ $2^n$ $m$ $n/\lg n$ $2^{n/2}$

Per inciso, sembra che questo ci consenta di risolvere il problema in un tempo superiore a in alcuni casi in cui la matrice ha un numero super-lineare di voci. Non so come quadrarlo con l'altra risposta fornita qui. Di conseguenza, dovresti controllare attentamente la mia risposta: potrebbe indicare che da qualche parte ho commesso un grave errore. $2^n$ $A$

L'approccio di base: scrittura , dove detiene i primi componenti di ed tiene l'ultimo componenti; e similmente , dove ha la sinistra colonne di e la destra $x=(x_0,x_1)$ $x_0$ $n/2$ $x$ $x_1$ $n/2$ $A=(A_0,A_1)$ $A_0$ $n/2$ $A$ $A_1$ colonne. Ora può essere riscritto nel modulo $n/2$ $Ax \le b$

A_{0} x_{0} + A_{1} x_{1} \leq b,

$A_0 x_0 + A_1 x_1 \le b,$

o equivalentemente,

A_{0} x_{0} \leq b - A_{1} x_{1} .

$A_0 x_0 \le b - A_1 x_1.$

Enumera tutte le possibilità per e lascia che indichi l'insieme dei valori possibili, ovvero $2^{n/2}$ $A_0 x_0$ $S$

S = {A_{0} x_{0} : x_{0} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$S=\{A_0 x_0 : x_0 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

$T$ $2^{n/2}$ $b - A_1 x_1$

T = {b - A_{1} x_{1} : x_{1} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$T = \{b - A_1 x_1 : x_1 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

Ora il problema diventa

$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$ $2^{n/2}$ $s\in S$ $t \in T$ $s\le t$

$\le$ $s_i \le t_i$ $i$

$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$ $m$ $n/\lg n$ $2^n$

$m=1$ $m=1$ $x_i=1$ $A_{1,i}\le 0$ $x_i=0$ $x$

— DW
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L'algoritmo della mia risposta si riduce anche al problema vettoriale descritto nella tua risposta usando lo stesso metodo, ovvero dividere le variabili ed elencare tutti i loro compiti.

— Stefan Schneider,

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2^{O (m)}

$2^{O(m)}$