Informazioni sui grafici planari generalizzati e sui grafici planari esterni generalizzati

Qualsiasi grafico planare , rispettivamente, esterno $G=(V,E)$ soddisfa $|E'|\le 3|V'|-6$ ,
rispettivamente, $|E'|\le 2|V'|-3$ , per ogni sottografo di . Inoltre, i grafici (esterni) planari possono essere riconosciuti in tempi polinomiali.$G'=(V',E')$$G$

Che cosa si sa sui grafici tale che (resp. ) per ogni sottografo di ? È possibile riconoscerli in tempo polinomiale?$G=(V,E)$| E ′ | ≤ 2 | V ′ | - 3 G ′ = ( V ′ , E ′ ) $|E'|\le 3|V'|-6$$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

Modifica (dopo la bella risposta di Eppstein): qualsiasi grafico planare soddisfa per ogni sottografo di con almeno tre vertici . Quindi, "grafici planari generalizzati" sarebbero quelli che soddisfano questa proprietà, e riconoscerli in tempo polinomiale sembra essere una (interessante) domanda aperta.$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$G'=(V',E')$$G$ $|V'|\ge 3$

Nella notazione di Lee e Streinu (citazione sotto) la seconda classe che elenchi sono i grafici (2,3). Forniscono un algoritmo per testare se un grafico è (k, l) -sparse in tempo polinomiale. Tuttavia, la situazione con grafici planari e è un po 'più complicato, perché quella disuguaglianza non è vera per tutti gli insiemi di vertici (se fosse vera, nessun due vertici potrebbe essere collegato da un bordo, perché 3 ⋅ 2 - 6 = $|E'|\le 3|V'|-6$$3\cdot 2-6=0$). Quindi la classe di (3,6) grafici sparsi (nella loro notazione) consiste solo di grafici vuoti. Probabilmente i loro algoritmi possono essere estesi ai grafici per i quali vale la disuguaglianza per tutti gli insiemi di più di due vertici.

Lee, Audrey; Streinu, Ileana (2008), "Algoritmi di gioco di Pebble e grafici sparsi", Discrete Mathematics 308 (8): 1425–1437, doi: 10.1016 / j.disc.2007.07.104 , arxiv: math / 0702129 .

Che cosa si sa sui "grafici planari esterni generalizzati" o (2,3) -sparsi grafici? Alcuni fatti aggiuntivi alla risposta di DavidEppstein:

Nel 1982, in questo articolo (Corollari 1 e 2), Lovász e Yemini hanno caratterizzato grafici esterni planari generalizzati (nella loro notazione, grafici generici indipendenti ) come quei grafici hanno la proprietà che raddoppiando qualsiasi bordo di G si traduce in un grafico che è il bordo -unione disgiunta di due foreste.$G$$G$

In precedenza, nel 1970, Henneberg e Laman avevano dimostrato che i grafici planari esterni generalizzati possono essere ottenuti ricorsivamente da mediante tre cosiddette mosse di Henneberg (aggiungendo un vertice di grado 1, aggiungendo un vertice di grado 2 e un certo tipo di aggiunta di un vertice di grado 3).$K_2$

Queste caratterizzazioni danno i primi riconoscimenti polinomiali per grafici generalizzati del piano esterno.

Alcune osservazioni relative ai grafici planari generalizzati sono disponibili nell'ultima sezione di questo documento . Penso che caratterizzare e riconoscere i grafici planari generalizzati rimangano ancora domande aperte molto interessanti.