massimizzare MST (G [S]) su tutti i sottografi indotti G [S] in un grafico metrico

Questo problema è stato studiato prima?

Dato un grafico metrico non orientato G (le lunghezze del bordo soddisfano la disuguaglianza del triangolo), trova un insieme S di vertici tale che MST (G [S]) sia massimizzato, dove MST (G [S]) è l'albero di spanning minimo del sottografo indotto da S. Questo problema è stato studiato prima? NP è difficile? Molte grazie.

— jian
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C'è un uso diretto di questo sottografo in teoria o in pratica?

— Saeed,

Se si rimuove la condizione metrica, è facile dimostrare che il problema è NP-difficile?

— Igor Shinkar,

Prendendo

per contenere tutti i vertici si ottiene una approssimazione di

S

$S$

0.5

$0.5$

— Neal Young,

È NP completo da una riduzione dalla copertura del vertice.

Sia un grafico in cui è difficile trovare una copertura ottimale del vertice. Effettuare un nuovo grafico con doppio dei vertici, attaccando un nuovo grado, un vertice per ogni vertice del . Trasforma in uno spazio metrico rendendo la distanza tra i vertici adiacenti pari a e la distanza tra i vertici non adiacenti pari a . Per questo spazio metrico, il peso di un albero spanning minimo di un sottografo indotto è uguale al numero di vertici più il numero di componenti collegati del sottografo meno uno. $G$ $H$ $G$ $H$ $1$ $2$

Possiamo supporre che il sottografo con il MST più pesante includa tutti i vertici di grado uno, poiché l'aggiunta di uno di questi vertici a un sottoinsieme non può mai ridurre il numero di componenti. Così i vertici che sono stati rimossi per formare il sottografo sono un sottoinsieme di . Possiamo anche assumere che questi vertici rimossi formano una copertura dei vertici di . Se, invece, si forma un altro sottografo indotto rimuovendo i vertici che non formano una copertura del vertice, e è un bordo non coperto, la rimozione di porta ad un sottografo indotto che è almeno altrettanto buono: ne ha uno in meno vertice ma un altro componente connesso, creato dal vertice di grado 1 di che era attaccato a . $G$ $G$ $uv$ $v$ $H$ $v$

Così il sottografo ottimale di è formato rimuovendo una copertura dei vertici da . Un tale sottografo avrà esattamente componenti (uno per ciascun vertice di grado uno aggiunto a , da solo o connesso a un vertice di ) e un numero di vertici pari a dovee è la dimensione della copertina. Pertanto, il peso del suo MST sarà . Per massimizzare questo, dobbiamo minimizzare . $H$ $G$ $n$ $H$ $G$ $2n-k$ $n=|V(G)|$ $k$ $3n-k+1$ $k$

— David Eppstein
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