Funzioni casuali di basso grado come un vero polinomio

Esiste un modo (ragionevole) per campionare una funzione booleana uniformemente casuale $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ cui grado come polinomio reale è al massimo $d$ ?

EDIT: Nisan e Szegedy hanno dimostrato che una funzione di grado $d$ dipende al massimo $d2^d$ coordinate, così possiamo supporre che $n \leq d2^d$ . I problemi che vedo sono i seguenti: 1) Da un lato se selezioniamo una funzione booleana casuale su coordinate $d2^d$ , il suo grado sarà vicino a $d2^d$ , molto più alto di $d$ . 2) D'altra parte, se selezioniamo ogni coefficiente di grado al massimo $d$ a caso, la funzione non sarà booleana.

Quindi la domanda è: c'è un modo per campionare una funzione booleana di basso grado che evita questi due problemi?

randomness boolean-functions bounded-degree

— Igor Shinkar
fonte

Vuoi che la funzione effettiva sia la restrizione di un polinomio reale di grado da

d

$d$ a 0-1 ingressi, o vuoi che sia tale

f (x) = 1

$f(x) = 1$ iff

p (x) > 0

$p(x) > 0$ per qualche vero polinomio

p

$p$ di laurea al massimo

d

$d$ ? O qualcos'altro?

— Joshua Grochow,

@JoshuaGrochow Voglio una funzione la cui espansione di Fourier ha grado

d

$d$ . Questa è la tua prima opzione.

— Igor Shinkar,

Qual è il tuo modello? Annotare la funzione campionata richiede

2^{n}

$2^n$ tempo o

n^{O (d)}

$n^{O(d)}$ se si desidera emettere l'espansione di Fourier.

d

$d$ una costante fissa?

— MCH

Ho aggiunto alcuni dettagli in più alla domanda.

— Igor Shinkar,

@MCH Se una funzione se di grado

d

$d$ (con peso nullo sul livello

d

$d$ ), allora non può dipendere da più di

d 2^{d}

$d2^d$ coordinate. Questo è un risultato dovuto a Nisan e Szegedy. Pensa al caso speciale di

d = 1

$d=1$ . In questo caso sappiamo che la funzione dipende (al massimo) da 1 coordinata.

— Igor Shinkar,

Ecco un algoritmo che batte i tentativi banali.

Quanto segue è un fatto noto (Esercizio 1.12 nel libro di O'Donnell): Se $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ è una funzione booleana che ha grado $\le d$ come polinomio, quindi ogni coefficiente di Fourier di $f$ , è un multiplo intero di . Utilizzando Cauchy-Schwarz e Parseval si ottiene che ci sono al massimo nonzero coefficienti di Fourier e $\hat{f}(S)$ $2^{-d}$ $4^d$ $\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$ .

Questo suggerisce un metodo di campionamento -

Scegli numeri interi non negativi casuali $a_S$ per tutti gli insiemi $S\subseteq[n]$ di dimensione al massimo $d$ , che si sommano a $\le 4^d$ .
Sia $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$ .
Verifica che $f$ sia booleano. In tal caso, restituire $f$ . Altrimenti, torna a $1$ .

Si noti che per ogni grado $\le d$ polinomio $f$ esattamente una scelta di numeri interi casuali nel passaggio 1 genererà il polinomio $f$ . La probabilità di ottenere un grado specifico $\le d$ polinomio è

1 / (\binom{(\binom{n}{\leq d}) + 4^{d}}{4^{d}}) = 1 / O (n / d)^{d 4^{d}} .

$1/\binom{\binom{n}{\le d}+4^d}{4^d} =1/O(n/d)^{d4^d}.$ Quindi, dobbiamo ripetere questo processo al massimo

O (n / d)^{d 4^{d}}

$O(n/d)^{d4^d}$ volte, in attesa, prima di interrompere.

Resta da mostrare come eseguire il passaggio 3. Si può definire $A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$ . Verifica che $|A| \le d 2^d$ (che dovrebbe contenere da Nisan-Szegedy per ogni funzione booleana) e quindi valutare $f$ su tutte le possibili assegnazioni alle variabili $A$ . Questo può essere fatto in tempo $2^{d 2^d}$ . Gur e Tamuz offrono un algoritmo randomizzato molto più veloce per questo compito, tuttavia poiché questa parte non domina la complessità temporale questo è sufficiente.

Nel complesso l'algoritmo produce un campione casuale di un grado $\le d$ polinomiale nel tempo $O(\frac{n}{d})^{d4^d}$ . Partendo dal presupposto che $n \le d2^d$ la complessità temporale è $2^{O(d^2 4^d)}$ .

Questo non è un algoritmo di tempo polinomiale di campionamento, anche se è molto più veloce di campionamento di una funzione completamente casuale (nel qual caso la probabilità di ottenere una laurea specifica $\le d$ polinomio è $1/2^{2^n}$ ).

— Avishay Tal
fonte

d

$d$

n = 10 d 2^{d}

$n = 10d2^{d}$