Un semplice problema di cui non si conosce la decidibilità

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Mi sto preparando per un discorso rivolto ai laureandi in matematica, e come parte di esso, sto prendendo in considerazione la discussione del concetto di decidibilità. Voglio fare un esempio di un problema che attualmente non sappiamo essere decidibile o indecidibile. Ci sono molti di questi problemi, ma nessuno sembra emergere finora come un bell'esempio.

Qual è un problema semplice da descrivere la cui decidibilità è aperta?

computability decidability

— Lev Reyzin
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Il problema Collatz è un problema semplice da descrivere la cui decidibilità è aperta. Una generalizzazione del problema Collatz si dimostrò indecidibile. math.mit.edu/~poonen/papers/sampler.pdf mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html

— Mohammad Al-Turkistany

2

Forse si può anche mostrare questo bel "trucco": scrivere un piccolo programma (si può chiamare "Goldbach"), che consente di scorrere le persino interi

e controlla che

per alcuni numeri primi

ferma in caso negativo ... quindi dì "beh, non sappiamo se il problema di arresto per questo programma è decidibile!" :-). Mostra la forte correlazione tra problemi di teoria dei numeri e problema di arresto.

n_{i} \geq 5

$n_i \geq 5$

n_{i} = p_{j} + p_{k}

$n_i = p_j + p_k$

p_{j}, p_{k} < n_{i}

$p_j, p_k<n_i$

— Marzio De Biasi,

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Sembrano carini, ma il concetto di decidibilità non si applica solo per un'istanza specifica, poiché per entrambi questi casi la risposta è solo un sì / no fisso.

— Lev Reyzin

6

@MarzioDeBiasi, non è una "forte correlazione" tra il problema dell'arresto e la teoria dei numeri. Qualsiasi congettura della forma "i widget frangibili esistono / non esistono" può essere trasformata in un programma che blocca se esiste un widget frangibile, purché la frangibilità sia decidibile e i widget siano ricorsivamente enumerabili. L'esistenza di un tale programma è solo il legame più banale tra il problema dell'arresto e la teoria dei widget.

— David Richerby,

2

@DavidRicherby: abbastanza convincente :-). Stavo solo cercando di mettere in evidenza il fatto (sorprendente per me) che risolvere il problema dell'arresto per alcuni bit di codice corrisponde a risolvere una congettura matematica di lunga data. Quindi dovrei sostituire "correlazione forte" con "correlazione debole ma sorprendente per me" :-) :-)

— Marzio De Biasi

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Il problema della mortalità della matrice per matrici 2x2. Cioè, dato un elenco finito di matrici di numeri interi 2x2 M ₁ , ..., M _k , le M _i possono essere moltiplicate in qualsiasi ordine (con arbitrariamente molte ripetizioni) per produrre la matrice all-0?

(Il caso 3x3 è noto per essere indecidibile. Il caso 1x1, ovviamente, è decidibile.)

— Scott Aaronson
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epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/1.9781611974782.12 Igor Potapov e Pavel Semukhin hanno recentemente dimostrato che questo è decidibile.

— Chao Xu,

4

@ChaoXu: Quel documento sembra essere solo per matrici non singolari .

2

@RickyDemer Hai ragione, errore mio.

— Chao Xu,

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AGGIORNAMENTO: Il problema che ho citato qui ora è noto per essere indecidibile! http://arxiv.org/abs/1605.05274 Inoltre, l'articolo è stato ispirato dalla lettura di questa risposta. :)

I programmatori nel tuo pubblico di matematica possono essere sorpresi nell'apprendere che la domanda "è questo tipo implicitamente convertibile in quel tipo?" non è noto per essere decidibile in nessuno di Java 5, C # 4 e Scala 2.

Per maggiori dettagli, vedi il documento di Andrew Kennedy e Benjamin Pierce "Sulla decidibilità del sottotipo nominale con varianza" . L'articolo fornisce alcuni esempi di ulteriori restrizioni ai sistemi di tipi di questi linguaggi, in base ai quali il sottotipo nominale diventa noto come decidibile o noto come indecidibile.

È interessante notare che il documento è stato scritto molto prima che la covarianza generica e la contravarianza venissero aggiunte a C #, ma gli autori anticipavano correttamente la direzione in cui la lingua stava andando. (Ciò non sorprende; gli autori hanno progettato il supporto sottostante per la varianza nel CLR di cui ho approfittato quando ho aggiunto la varianza a C #! Hanno fatto il lavoro pesante.)

— Eric Lippert
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@vzn: il compilatore Microsoft C # può essere utilizzato per una ricorsione illimitata. Vedi il mio articolo sull'argomento: blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2008/05/07/…

— Eric Lippert,

3

@vzn: ci sono modi per far comportare male anche il compilatore Java, ma non conosco i dettagli.

— Eric Lippert,

2

@vzn Il linguaggio dei tipi di Scala è Turing completo, e quindi il controllo del tipo di Scala può essere ripetuto. Vedi qui per i dettagli. Lo stesso vale per Haskell . Non ho abbastanza familiarità con C # e Java per sapere se uno può ottenere i loro controlli di tipo ripetitivi per eseguire il ciclo.

— Martin Berger,

3

@vzn: Anche questo potrebbe interessarti: la risoluzione del sovraccarico in C # 3 è almeno NP-HARD perché puoi forzare il compilatore a risolvere arbitrari problemi SAT: blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2007/03 / 28 /…

— Eric Lippert,

7

@vzn: Infine, la domanda "è un po 'accademica?" è ovviamente risposto si. La domanda "è noto per essere decidibile?" è per sua natura una domanda accademica. Questi casi non si presentano in un codice realistico di line-of-business. L'importanza di questa domanda dal punto di vista ingegneristico è nella sicurezza ; una terza parte ostile può fornire codice in cui analizzarla prima di eseguirla può causare comportamenti errati? Questa è la situazione in cui ci troviamo su Internet, dove terze parti ostili inviano JavaScript al tuo browser.

— Eric Lippert,

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Decimo problema di Hilbert sulle razionali: "Questa equazione polinomiale ha una soluzione razionale?"

— Boris Bukh
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1

Grazie - hai un link in qualche posto che dice che è aperto?

— Lev Reyzin

1

Vedi www-math.mit.edu/~poonen/papers/subrings.pdf (secondo paragrafo). C'è anche un articolo espositivo su www-math.mit.edu/~poonen/papers/aws2003.pdf

— Boris Bukh

sarebbe anche utile vedere uno schizzo / descrizione del motivo per cui questo problema non è equivalente al decimo problema di Hilberts e la stessa prova non si applica.

— vzn,

2

vzn: le equazioni sui razionali possono essere viste come un caso speciale di equazioni sui numeri interi (moltiplicando per cancellare i denominatori). Quindi la domanda è se quel caso speciale del decimo problema di Hilbert sia già indecidibile. Le equazioni di Dihanthant prodotte dalle prove esistenti non hanno la forma speciale richiesta.

— Scott Aaronson,

1

@vzn Uno dei motivi per cui è sottile è che la maggior parte (forse tutte) le strategie di prova violerebbero la congettura di Mazur. Vedi pagina 1 del primo link di Boris Bukh per ulteriori informazioni.

— David E Speyer,

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Il problema di una ricorrenza lineare unitamente ai suoi valori iniziali, assume il valore 0?

Due riferimenti:

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positivity12.pdf

— Magnus Find
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3

Ora su Wikipedia: en.wikipedia.org/wiki/Skolem_problem

— David Eppstein

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Un semplice problema la cui decidibilità è sconosciuta è il seguente (penso che sia ancora aperto):

Scacchi infiniti :

Input : un elenco finito di pezzi degli scacchi e le loro posizioni iniziali su una scacchiera ; Domanda : White Force può accoppiarsi? $Z \times Z$

Se aggiungiamo il vincolo che il Bianco deve accoppiare in mosse ( fa parte dell'input), allora diventa decidibile: vedi Dan Brumleve, Joel David Hamkins e Philipp Schlicht, Il problema di accoppiamento degli scacchi infiniti è decidibile . $n$ $n$

Un altro semplice problema è il comportamento della formica di Langton su una configurazione iniziale finita.

Il comportamento della formica di Langton con supporto finito :

I quadrati su un piano sono variamente colorati in bianco o nero. Identifichiamo arbitrariamente un quadrato come "formica". La formica può viaggiare in una qualsiasi delle quattro direzioni cardinali ad ogni passo che compie. La formica si muove secondo le regole seguenti:

In un quadrato bianco, gira di 90 ° a destra, capovolgi il colore del quadrato, vai avanti di un'unità
In un quadrato nero, gira di 90 ° a sinistra, capovolgi il colore del quadrato, vai avanti di un'unità

Input : una configurazione finita (bianco / nero) del piano e la posizione della formica;
Domanda : la formica finisce sempre per costruire una "autostrada" infinita ricorrente?

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Per un supporto infinito il problema è indecidibile, vedi: A. Gajardo, A. Moreira ed E. Goles, Complessità della formica di Langton

— Marzio De Biasi
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Il problema Collatz è un problema semplice da descrivere la cui decidibilità è aperta. Implica una semplice ricorrenza di operazioni aritmetiche elementari.

per intero pari, per intero dispari $f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$ $3n+1$

Il problema è decidere se l'iterazione di questa funzione ritorna sempre a 1 per un dato intero positivo . $n_0$

È interessante notare che una generalizzazione del problema Collatz si è dimostrata indecidibile.

Riferimenti:

1- PROBLEMI INDECIDABILI: UN CAMPIONATORE , POONEN DI BJORN

2- Weisstein, Eric W. "Problema di Collatz". Da MathWorld - Una risorsa Web Wolfram.

3- Il problema 3X + 1: una panoramica , Jeffrey C. Lagarias

— Mohammad Al-Turkistany
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A rigor di termini, la risposta alla tua particolare domanda è semplicemente "sì" o "no", quindi non può essere indecidibile. D'altra parte, dire se un determinato numero è un numero Collatz potrebbe essere indecidibile.

— Lev Reyzin

@LevReyzin Grazie. Modificato per risolvere il problema.

— Mohammad Al-Turkistany,

felice che questa risposta sia ora inclusa e suggerisca che tutti gli altri principali problemi di teoria dei numeri aperti possano essere formulati in modo simile come in altri commenti / risposte e pensa che questo legame fondamentale sia vicino a un teorema del ponte cardine non esplorato dalle comunità teoriche.

— vzn

studio della congettura di Collatz da un più TCS / angolo empirico con molti riferimenti qui (ad es. tramite ricorsione del trasduttore FSM , sistema di tag ecc.)

— vzn

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Non è noto se sia o meno determinabile determinare se una data forma può affiancare il piano .

— Joseph O'Rourke
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La decidibilità del contenimento della query congiuntiva è stata aperta per oltre venti anni. Risolvere questo sarebbe una svolta nella teoria dei database.

Il contenimento delle query prende come input due query e e chiede se applicata a qualsiasi database produce almeno quante risposte quando viene applicata allo stesso database $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $I$ $Q_2$ $I$ .

In congiuntivo interrogazioni si usa AND per collegare insieme predicati quantificati esistenzialmente. In termini SQL, le query congiuntive sono le query SELECT-FROM-WHERE che utilizzano "=" e "AND" ma nessuna sottoquery o aggregazione. Questo è forse il tipo più comune di query del database e include la maggior parte delle query dei motori di ricerca.

Ciò che rende interrogazione contenimento potenzialmente indecidibile è la quantificazione su un numero infinito di possibili basi di dati . Gli algoritmi esistenti tendono a fare affidamento sul trasformare questa infinita quantificazione in una domanda sintattica, se esiste un omomorfismo di qualche tipo tra e . $I$ $Q_1$ $Q_2$

$\ne$ , è noto che il contenimento delle query è indecidibile.

$(N,+,\times)$ $(N,+,\times)$

Per indicazioni sull'ampia letteratura e un trattamento rigoroso, vedere un documento ToDS (in corso di stampa) di alcune persone.

$Q$ $R$ $Q$ $Q \text{ AND } R$ $Q$

— András Salamon
fonte

Ecco un articolo correlato .

— Martin Berger,

1

@MartinBerger: la versione ToDS include la prova di durezza NP menzionata sopra, ha prove complete ed è un accesso aperto (anche se omette il materiale sui sindacati dei CQ a causa della mancanza di spazio). dx.doi.org/10.1145/2556524

— András Salamon,

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Problema di corrispondenza della posta con un numero fisso di tessere compreso tra 3 e 6.

Sebbene non sia davvero semplice da descrivere, ha una descrizione molto "giocosa", e la trovo adatta per i colloqui a livello di intuizione.

— Shaull
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13

Il problema dell'altezza delle stelle generalizzata: "di quante nidificazioni delle stelle di Kleene ho bisogno per rappresentare questo linguaggio regolare, con un'espressione regolare con complementazione consentita?"

Non sappiamo nemmeno se l'algoritmo che restituisce sempre 1 (tranne 0 per le lingue senza stelle, che è un caso decidibile) è corretto.

— Denis
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10

Un problema dalla teoria degli automi.

$D$

$x$ $D$ $x$ $x$ $L(D) \cap Primes$

Commenti: Inizialmente ho sentito questo problema da una risposta di scambio di stack di Jeffrey Shallit. Se siete a conoscenza di riferimenti ad esso, per favore fatemi sapere. Grazie!

Articoli correlati:

(1) Ci sono ancora problemi aperti sui DFA?

(2) https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

Lavori correlati: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

"Minimal Elements for the Prime Numbers" di C. Bright, R. Devillers e J. Shallit

— Michael Wehar
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7

Mappe iterate sull'intervallo (descrizione da qui ):

(molto legato al problema proposto da Magnus Find)

$F$ $x$ $x$ $x$ $F(x)$ $F(F(x))$ $F$ $x$ $F$ ?

$F$ $x$ $y$ $x$ $y$ in un numero finito di iterazioni?

$F$ ha solo due pezzi lineari.

$F$ $x$ $y$ $x$ $F$

Un riferimento: Asarin 2011 .

— Nicolas Perrin
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2

sembra esserci un modo / angolo abbastanza naturale per studiare questa domanda che viene utilizzata in almeno 3 articoli come segue.

$TM(k,l)$ $k$ $l$ $k,l$ $k,l$ passato alcuni soglia che sono dimostrabilmente indecidibile. tuttavia nella regione intermedia, non sono costantemente noti per essere decidibili o indecidibili (e la tabella completa è presumibilmente inconoscibile sulla base degli stessi fenomeni di indecidibilità del problema di arresto).

i risultati possono essere visualizzati su una griglia come in alcuni dei seguenti riferimenti. anche nella regione intermedia è noto che alcune macchine (irrisolte) sono in grado di simulare la congettura di Collatz per alcuni input.

quindi esiste chiaramente un "punto di transizione" come i fenomeni che operano qui, ma non all'interno di una regione calcolabile ma in un senso insolito tra calcolabile e non calcolabile.

— VZN
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ps il pdf di De Mol ref non era scaricabile per me da arxiv al momento della stesura, si blocca

— vzn

-3

$2^8$

anche come esempio di "near miss", o "domanda aperta risolta relativamente di recente come TM completo", la macchina Wolfram 2,3 è stata dimostrata universale nel 2007 per un premio di $ 25.000 . il concorso è stato annunciato nel maggio 2007 e il concorso ha annunciato il vincitore Smith nell'ottobre 2007 .

— VZN
fonte

-10

esiste un modo abbastanza naturale di mappare i problemi più aperti su questioni di (non) decidibilità. la maggior parte dei problemi aperti non è generalmente dimostrabile o non dimostrabile.

sul web c'è una certa confusione informale sull'indecidibilità del problema P vs NP , che non è strettamente un problema decisionale, quindi parlare della sua indecidibilità non è tecnicamente corretto. ma d'altra parte sembra esserci un legame stretto / naturale tra indecidibilità e provabilità come segue.

per esempio considera

$L$ $x$ $O(n^x)$

questa lingua è decidibile? questa è una domanda su una lingua con la sua decidibilità aperta che è sostanzialmente strettamente legata (anche, praticamente identica) al problema P vs NP e alla sua intrinseca (non?) dimostrabilità.

come per P vs NP come "semplice da descrivere", richiede solo concetti di TM , notazione di runtime di Big O , non determinismo che sono abbastanza semplici (alcuni dei concetti più elementari di TCS) e insegnati a livello universitario o che sono dotati lo studente delle superiori potrebbe capire.

infatti NP vs P / Poly è anche aperto e può essere mappato su una domanda aperta sulla decidibilità allo stesso modo, e questo può essere affermato come un problema abbastanza semplice sulla crescita di circuiti minimi (monotono?) per riconoscere NP completo problemi (ad es. cricche).

— VZN
fonte

3

è decidibile: o non esiste un tale algoritmo per

e

L

$L$

x

$x$

L = \emptyset

$L = \emptyset$

x

$x$

Θ (n^{x})

$\Theta(n^x)$

L

$L$

L

$L$

\neq

$\ne$

2

dire che un numero intero non è calcolabile non ha senso. e non penso che il principio del mezzo escluso sia influenzato dal fatto che l'affermazione sia provabile.

— Sasho Nikolov,

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correggi la tua risposta o smetti di lasciare commenti. Ho visto queste domande, ma se non sei in grado di usarle o delle risposte fornite per risolvere il tuo pasticcio completo di una risposta, o, peggio, se non vuoi, forse dovresti andare a troll un'altra comunità.

— Sasho Nikolov,

5

al punto, il problema nella tua risposta è banalmente decidibile, indipendentemente dalla risoluzione o dall'indipendenza formale del problema P vs NP dallo ZFC. inoltre, creare problemi che sono probabilmente indecidibili o banalmente decidibili a seconda della verità di una congettura famosa non è altro che un esercizio carino (che finora non riesci completamente), e nella maggior parte dei casi non mostra nulla sulla difficoltà intrinseca di una congettura .

— Sasho Nikolov,