Algoritmi dal libro.

Paul Erdos ha parlato del "Libro" in cui Dio conserva la prova più elegante di ogni teorema matematico. Ciò ha persino ispirato un libro (che credo sia giunto alla sua quarta edizione): Proofs from the Book .

Se Dio avesse un libro simile per gli algoritmi, quale algoritmo pensi che sarebbe un candidato?

Se possibile, fornisci anche un riferimento cliccabile e le informazioni chiave che lo fanno funzionare.

Solo un algoritmo per risposta, per favore.

Union-find è un bel problema il cui miglior algoritmo / struttura di dati (Disjoint Set Forest ) si basa su uno stack di spaghetti. Sebbene sia abbastanza semplice e intuitivo da spiegare a un bambino intelligente, ci sono voluti diversi anni per avere un limite al suo tempo di esecuzione. Alla fine, si scoprì che il suo comportamento era correlato alla Funzione inversa di Ackermann, una funzione la cui scoperta segnò uno spostamento di prospettiva sul calcolo (e fu di fatto incluso in L'Infinito di Hilbert ).

Wikipedia offre una buona introduzione a Disjoint Set Forests .

Corrispondenza delle stringhe Knuth-Morris-Pratt . Le otto righe di codice più sottili che tu abbia mai visto.

L'algoritmo di Blum, Floyd, Pratt, Rivest, e Tarjan per trovare il k -esimo elemento di una lista non ordinata nel tempo lineare è una bella algoritmo, e funziona solo perché i numeri sono appena a destra per adattarsi al Master Teorema. Va come segue:

1. Ordina ogni sequenza di cinque elementi.
2. Scegli la mediana in ciascuno.
3. Ricorrere per trovare la mediana di questo elenco.
4. Pivot sulla mediana delle mediane (come in Quicksort)
5. Seleziona il lato corretto dell'elenco e la posizione in quell'elenco e ricorri.

Ricerca binaria è l'algoritmo più semplice, bello e utile che abbia mai incontrato.

Sono sorpreso di non vedere l' algoritmo di Floyd-Warshall per i percorsi più brevi di tutte le coppie qui:

d[]: 2D array. d[i,j] is the cost of edge ij, or inf if there is no such edge.

for k from 1 to n:
  for i from 1 to n:
    for j from 1 to n:
      d[i,j] = min(d[i,j], d[i,k] + d[k,j])

Uno degli algoritmi non banali più brevi e chiari in corso, e le prestazioni di sono molto veloci se si considera che potrebbero esserci dei bordi . Sarebbe il mio bambino poster per la programmazione dinamica!O ( n 2$O(n^3)$$O(n^2)$

Algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comune divisore (GCD)

Potrebbe sembrare un po 'banale (soprattutto rispetto alle altre risposte), ma penso che Quicksort sia davvero elegante. Ricordo che quando l'ho visto per la prima volta ho pensato che fosse davvero complicato, ma ora sembra fin troppo semplice.

Codifica Huffman per la compressione dei dati.

Il test di primalità di Miller-Rabin (e test simili) dovrebbe essere in The Book. L'idea è quella di sfruttare le proprietà dei numeri primi (cioè usando il piccolo teorema di Fermat) per cercare probabilisticamente una testimonianza del numero non primo. Se nessun testimone viene trovato dopo un numero sufficiente di test casuali, il numero viene classificato come primo.

In quella nota, il test di primalità di AKS che ha mostrato che PRIMES è in P dovrebbe certamente essere nel Libro!

Test di identità polinomiale con il lemma di Schwartz-Zippel :

Se qualcuno ti svegliasse nel cuore della notte e ti chiedesse di testare due espressioni polinomiali univariate per l'identità, probabilmente le riduresti alla forma normale della somma dei prodotti e le confronteresti per l'identità strutturale. Sfortunatamente, la riduzione può richiedere tempo esponenziale; è analogo alla riduzione delle espressioni booleane in forma disgiuntiva normale.

Supponendo che tu sia il tipo a cui piacciono gli algoritmi randomizzati, il tuo prossimo tentativo sarebbe probabilmente quello di valutare i polinomi in punti scelti casualmente in cerca di controesempi, dichiarando i polinomi molto probabilmente identici se superano abbastanza test. Il lemma di Schwartz-Zippel mostra che con l'aumentare del numero di punti, la probabilità di un falso positivo diminuisce molto rapidamente.

Non è noto alcun algoritmo deterministico per il problema che viene eseguito nel tempo polinomiale.

Profondità Prima ricerca . È la base di molti altri algoritmi. È anche ingannevolmente semplice: ad esempio, se si sostituisce la coda in un'implementazione BFS con uno stack, si ottiene DFS?

L'algoritmo di Dijkstra : il problema del percorso più breve a sorgente singola per un grafico con costi del percorso del bordo non negativi. È usato ovunque ed è uno degli algoritmi più belli là fuori. Internet non può essere instradato senza di essa - è una parte fondamentale dei protocolli di routing IS-IS e OSPF (Open Shortest Path First).

1. Assegna a ciascun nodo un valore di distanza. Impostalo su zero per il nostro nodo iniziale e su infinito per tutti gli altri nodi.
2. Contrassegna tutti i nodi come non visitati. Imposta il nodo iniziale come corrente.
3. Per il nodo corrente, considera tutti i suoi vicini non visitati e calcola la loro distanza provvisoria (dal nodo iniziale). Ad esempio, se il nodo corrente (A) ha una distanza di 6 e un bordo che lo collega a un altro nodo (B) è 2, la distanza da B a A sarà 6 + 2 = 8. Se questa distanza è inferiore alla distanza precedentemente registrata (infinito all'inizio, zero per il nodo iniziale), sovrascrivere la distanza.
4. Quando abbiamo finito di considerare tutti i vicini del nodo corrente, contrassegnalo come visitato. Un nodo visitato non verrà mai più verificato; la sua distanza registrata ora è definitiva e minima.
5. Se tutti i nodi sono stati visitati, finire. In caso contrario, impostare il nodo non visitato con la distanza minima (dal nodo iniziale) come il "nodo corrente" successivo e continuare dal passaggio 3.

Il setaccio di Eratostene , semplice e intuitivo.

Mi piace anche la bellezza dell'algoritmo di Horner .

Lo schema di crittografia completamente omomorfo di Gentry (sia su reticoli ideali che su numeri interi) è terribilmente bello. Consente a terzi di eseguire calcoli arbitrari su dati crittografati senza accesso a una chiave privata.

Lo schema di crittografia è dovuto a diverse osservazioni acute.

• Per ottenere uno schema di crittografia completamente omomorfo, è sufficiente disporre di uno schema omomorfo rispetto all'addizione e alla moltiplicazione. Questo perché l'addizione e la moltiplicazione (mod 2) sono sufficienti per ottenere porte AND, OR e NOT (e quindi Turing Completeeness).
• Che se si dovesse avere un tale schema, ma a causa di alcune limitazioni potrebbe essere eseguito solo per circuiti di una certa profondità finita, allora si può valutare omomorficamente la procedura di decrittazione e re-crittografia per ripristinare la limitazione della profondità del circuito senza sacrificare la privacy delle chiavi.
• Che "schiacciando" la profondità della versione del circuito della funzione di decrittazione per lo schema, si potrebbe consentire a uno schema originariamente limitato a circuiti finiti e superficiali un numero arbitrario di calcoli.

Nella sua tesi, Craig Gentry ha risolto un problema aperto (e meraviglioso) di lunga data nella crittografia. Il fatto che esista uno schema completamente omomorfo esige che riconosciamo che esiste una struttura intrinseca alla calcolabilità che altrimenti potremmo aver ignorato.

http://crypto.stanford.edu/craig/craig-thesis.pdf

http://eprint.iacr.org/2009/616.pdf

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1666420.1666445

L' algoritmo FFT di Cooley-Tukey .

Algoritmo di Strassen per la moltiplicazione di matrici.

L' algoritmo di matrimonio stabile Gale-Shapley . Questo algoritmo è avido e molto semplice, all'inizio non è ovvio perché dovrebbe funzionare, ma poi la prova della correttezza è di nuovo facile da capire.

L'algoritmo del tempo lineare per la costruzione di array di suffissi è veramente bello, sebbene non abbia ricevuto il riconoscimento che meritava http://www.cs.helsinki.fi/u/tpkarkka/publications/icalp03.pdf

Eliminazione gaussiana. Completa la sequenza di generalizzazione dall'algoritmo GCD euclideo a Knuth-Bendix.

Sono rimasto impressionato quando ho visto l'algoritmo per la prima volta il campionamento del serbatoio e la sua prova. È il tipico puzzle di tipo "rompicapo" con una soluzione estremamente semplice. Penso che appartenga sicuramente al libro, sia per gli algoritmi che per i teoremi matematici.

Per quanto riguarda il libro, la storia narra che quando Erdös morì e andò in paradiso, chiese di incontrarsi con Dio. La richiesta fu accolta e per l'incontro Erdös ebbe una sola domanda. "Posso guardare nel libro?" Dio disse di sì e condusse Erdös ad esso. Naturalmente molto emozionato, Erdös apre il libro solo per vedere quanto segue.

Teorema 1: ...
Prova: ovvio.

Teorema 2: ...
Prova: ovvio.

Teorema 3: ...
Prova: ovvio.

La tartaruga e la lepre algoritmo . Mi piace perché sono sicuro che anche se avessi sprecato tutta la mia vita cercando di trovarlo, non avrei mai avuto un'idea del genere.

Un esempio fondamentale e "banale" come la prova di Euclide di infiniti numeri primi:

2-approssimazione per MAX-CUT - Indipendentemente per ciascun vertice, assegnarlo a una delle due partizioni con uguale probabilità.

Sono sempre stato parziale all'algoritmo di Christofides che fornisce una approssimazione (3/2) per il TSP metrico. In effetti, chiamami facile da accontentare, ma mi è persino piaciuto l'algoritmo di approssimazione 2 che lo precede . Il trucco di Christofides di realizzare un Eulerian con albero a peso minimo aggiungendo una corrispondenza dei suoi vertici di grado dispari (invece di duplicare tutti i bordi) è semplice ed elegante, e basta poco per convincerne uno che questa corrispondenza non ha più della metà del peso di un tour ottimale.

Unisci ordinamento . Semplice, elegante, efficiente.

$O(\sqrt N)$

Algoritmi per la programmazione lineare : metodi di punto simplex, ellissoide e punto interno.

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_programming#Algorithms

Algoritmo di Robin Moser per la risoluzione di una determinata classe di istanze SAT. Tali casi sono risolvibili da Lovasz Local Lemma. L'algoritmo Moser è in effetti una de-randomizzazione dell'affermazione del lemma.

Penso che tra qualche anno il suo algoritmo (e la tecnica per la sua prova di correttezza) sarà ben digerito e perfezionato al punto da essere un candidato valido per un algoritmo dal Libro .

Questa versione è un'estensione del suo documento originale, scritto con Gábor Tardos.

L'algoritmo più veloce e breve di Marcus Hutter per tutti i problemi ben definiti .

Questo tipo di va contro lo spirito delle altre offerte in questo elenco, dal momento che è solo di interesse teorico e non pratico, ma poi di nuovo il tipo di titolo dice tutto. Forse dovrebbe essere incluso come un ammonimento per coloro che guarderebbero solo al comportamento asintotico di un algoritmo.

L'algoritmo X di Knuth trova tutte le soluzioni all'esatto problema di copertura . Ciò che è così magico al riguardo è la tecnica che ha proposto di implementarlo in modo efficiente: Dancing Links .

Penso che dobbiamo includere quello di Schieber-Vishkin , che risponde alle domande più basse degli antenati comuni in tempo costante, preelaborando la foresta in tempo lineare.

Mi piace l'esposizione di Knuth nel Volume 4 Fascicle 1 e il suo pensiero . Ha detto che gli ci sono voluti due interi giorni per capirlo appieno, e ricordo le sue parole:

Penso che sia abbastanza bello, ma sorprendentemente ha una cattiva stampa in letteratura (..) È basato sulla matematica che mi entusiasma.