Interpretazione geometrica del calcolo

Essendo della fisica, sono stato addestrato a esaminare molti problemi da un punto di vista geometrico. Ad esempio la geometria differenziale delle varietà nei sistemi dinamici, ecc. Quando leggo le basi dell'informatica, cerco sempre di trovare interpretazioni geometriche. Come una plausibile interpretazione geometrica di insiemi ricorsivamente enumerabili (ho lavorato su una parte in cui ho cercato di collegarli con la geometria algebrica sfruttando l'equivalenza con gli insiemi di Diophantine ma la connessione sembrava forzata e non riuscivo a trovare un'espressione "naturale" dei fatti in quello formulazione) o un bellissimo risultato geometrico per un semplice algoritmo per l'ordinamento dei numeri. Sebbene non sia un esperto, ho letto sondaggi sulla teoria della complessità geometrica ed è sicuramente un programma interessante, ma sono più interessato ad avere una visione geometrica di concetti estremamente fondamentali come la dinamica di una macchina di Turing, Lambda Calculus o la struttura di ( un) set calcolabili (piuttosto che problemi specifici). È un lavoro senza speranza trovare una struttura geometrica in questi oggetti o ci si può aspettare alcuni risultati complessi? Esiste una formulazione di TCS che la tratta geometricamente?

La semantica dei programmi per computer può essere compresa geometricamente in tre modi distinti (e apparentemente incompatibili).

• L'approccio più antico è tramite la teoria dei domini . L'intuizione alla base della teoria dei domini deriva dall'asimmetria dietro terminazione e nonterminazione.

  Quando si trattano i programmi in modo esteso (vale a dire, osservando solo il loro comportamento I / O, e non la loro struttura interna), è sempre possibile confermare a tempo finito che un programma si interrompe - basta aspettare fino a quando non si ferma. Tuttavia, non è possibile confermare che un programma non si arresta, perché non importa quanto tempo si aspetta, c'è sempre un programma di arresto che verrà eseguito per alcuni passaggi in più di quanto si aspettasse.

  Di conseguenza, l'arresto e il loop possono essere visti come uno spazio topologico ( lo spazio di Sierpiński ). Questo porta a nozioni più ricche di osservazione (tramite la topologia di Scott) e in tal modo è possibile interpretare i programmi come elementi di spazi topologici. Questi spazi sono generalmente abbastanza sorprendenti da un punto di vista tradizionale - i domini non sono generalmente Hausdorff.

  La migliore introduzione topologica che conosco a queste idee è la topologia breve ed estremamente accessibile di Steve Vickers tramite Logic . Può essere inteso come una sorta di riscaldamento per gli Stone Spaces significativamente più formidabili di Peter Johnstone .

  Se stai cercando appunti di lezioni online, lasciami suggerire la topologia sintetica di tipi di dati e spazi classici di Martin Escardo .

• Un'altra visione nasce dalla teoria della concorrenza. Un programma concorrente può essere inteso come avere esecuzioni multiple valide (sequenze di stati), a seconda di come vengono risolte le razze. Quindi, l'insieme delle esecuzioni può essere visto come uno spazio, con ogni possibile sequenza di stati intesa come un percorso attraverso questo spazio. Quindi, i metodi della topologia algebrica e della teoria dell'omotopia possono essere applicati per ricavare invarianti sull'esecuzione del programma.

  Nir Shavit e Maurice Herlihy usano questa idea per dimostrare l'impossibilità di alcuni algoritmi distribuiti, per i quali hanno vinto il premio Gödel del 2004. (Vedi la struttura topologica del calcolo asincrono .) Eric Goubault ha un documento di indagine che spiega le idee rilevanti in alcune prospettive geometriche nella teoria della concorrenza .

• Più recentemente, è stato osservato che la struttura del tipo di identità nella teoria dei tipi dipendenti corrisponde molto da vicino alla nozione di tipo di omotopia nella teoria dell'omotopia - così da vicino, infatti, che la teoria dei tipi dipendenti può effettivamente essere vista come una sorta di "teoria dell'omotopia sintetica"! (Vladimir Voevodsky ha scherzato dicendo che ha trascorso diversi anni a sviluppare un nuovo calcolo per la teoria dell'omotopia, solo per scoprire che i suoi colleghi del dipartimento CS lo stavano già insegnando ai laureandi.)

  Vedi il link di cody sopra al libro di teoria dei tipi di omotopia .

È interessante notare che queste tre visioni sembrano incompatibili tra loro, o almeno molto difficili da conciliare. La teoria dei tipi dipendenti è un linguaggio totale, quindi non termina (e la topologia di Scott) in esso. È anche confluente, quindi neanche la vista dei calcoli come spazi. Allo stesso modo, la formulazione della concorrenza in termini di teoria dei domini si è rivelata ferocemente difficile e un resoconto completamente soddisfacente è ancora un problema aperto.

Come appena accade, ci sono stati sviluppi recenti nella teoria dei tipi dipendenti , in cui un tipo, che tradizionalmente rappresenta un invariante statico per un programma per computer, può essere interpretato come uno spazio topologico, o piuttosto una classe di equivalenza di tale spazi (un tipo di omotopia ).

Questo è stato oggetto di intense ricerche negli ultimi anni, culminate in un libro .

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Sei a conoscenza di GCT, ma potresti non essere a conoscenza del precedente lavoro di Mulmuley sulla dimostrazione di una separazione tra un sottoinsieme di calcoli PRAM e P, che utilizza idee geometriche su come un calcolo può essere visto come intagliare uno spazio.

Molti limiti inferiori per problemi nel modello dell'albero delle decisioni algebrico si riducono al ragionamento sulla topologia degli spazi di soluzione sottostanti (i numeri di Betti si presentano come parametro rilevante).

In un certo senso, TUTTA l'ottimizzazione è geometrica: i programmi lineari comportano la ricerca del punto più basso di un politopo in dimensioni elevate, gli SDP sono funzioni lineari sullo spazio delle matrici semidefinite e così via. La geometria è ampiamente utilizzata nella progettazione di algoritmi qui.

Su questo tema, esiste una lunga e profonda connessione tra la nostra capacità di ottimizzare determinate funzioni sui grafici e la nostra capacità di incorporare spazi metrici in determinati spazi normati. Questa è una vasta letteratura ora.

Infine, negli ultimi anni c'è stato un grande interesse per i cosiddetti meccanismi "lift-and-project" per risolvere i problemi di ottimizzazione, e questi fanno un uso pesante della geometria sottostante e si solleva verso spazi di dimensione superiore: nozioni di gioco della geometria algebrica un ruolo importante qui.

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Un modo per comprendere la relazione tra l'elaborazione delle informazioni (nota anche come "calcolo") e la geometria è che l'elaborazione delle informazioni precede la geometria. Questa visione dovrebbe essere familiare da alcune parti della fisica. Ad esempio, nella teoria della relatività studiamo sia la struttura causale dello spaziotempo (la sua elaborazione delle informazioni) sia la sua struttura geometrica . Molti considererebbero il secondo più elementare del primo.

Queste connessioni sono state notate in passato e diversi anni fa si è cercato di collegare gli aspetti teorico-informatici dell'informatica con la teoria della relatività. Uno dei compiti che la gente voleva risolvere era: a partire dalla struttura causale dello spaziotempo (che è solo un ordine parziale sullo spaziotempo), ricostruire la topologia dello spaziotempo, o forse anche la geometria. Il recupero della topologia da un ordine parziale è il tipo di cosa in cui la teoria dei domini è brava, quindi c'è stato un certo successo.

Riferimenti:

• Strutture computazionali per modellare lo spazio, il tempo e la causalità , seminario di Dagstuhl 06341, 20-25 agosto 2006

• Key Martin e Prakash Panangaden: geometria dello spaziotempo dalla struttura causale e una misurazione

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interpretando in modo creativo la tua domanda, vengono in mente alcune possibilità diverse da GCT. un modo è cercare problemi indecidibili (alias completezza di Turing) che sono abbastanza onnipresenti.

• aperiodic Piastrellatura dell'aereo e piastrellatura Penrose . è stato dimostrato che la questione se vi sia una piastrellatura aperodica dell'aereo è indecidibile.

• Automi cellulari che sempre più spesso mostrano di avere profonde connessioni con la fisica, molti problemi indecidibili correlati, comprovata MT completa, e sono naturalmente interpretati come (e convertiti tra) i tableau computazionali della TM.

• $(x,y)$

• Indecidibilità nei sistemi dinamici (Hainry), a volte talvolta strettamente connessa alla fisica. i sistemi dinamici hanno generalmente un'interpretazione geometrica multidimensionale.

• Linguaggi di programmazione visiva . un programma può essere visto come un tipo di grafico (diretto?) con diversi tipi di vertici (ad es. operazione condizionata, aritmetica) ecc.