Copertura impostata per la frequenza limitata della cardinalità limitata: durezza di approssimazione

Considera il problema minimo di copertura dei set con le seguenti restrizioni: ogni set contiene al massimo elementi e ogni elemento dell'universo si presenta al massimo in set.$k$$f$

• Esempio: il caso e equivale al problema di copertura minima del vertice nei grafici con grado massimo 4.$k = 4$$f = 2$

Sia il valore più grande in modo tale che trovare una approssimazione del problema di copertura minimo impostato con i parametri e sia NP-difficile.$a(k,f) > 1$$a(k,f)$$k$$f$

• Esempio: ( Berman & Karpinski 1999 ).$a(4,2) \ge 1.0128$

Domanda: abbiamo un riferimento che riassume i limiti inferiori più forti conosciuti su ? In particolare, sono interessato a valori concreti nel caso in cui sia che siano piccoli ma .$a(k,f)$$k$$f$$f > 2$

Le versioni limitate del problema di copertura del set sono spesso convenienti nelle riduzioni; in genere esiste una certa libertà nella scelta dei valori di e , e ulteriori informazioni su aiuterebbero a scegliere i giusti valori che forniscono i risultati di durezza più forti. I riferimenti qui , qui e qui forniscono un punto di partenza, ma le informazioni sono in qualche modo obsolete e frammentarie. Mi chiedevo se esiste una fonte più completa e aggiornata?$k$$f$$a(k,f)$

Usando la notazione dei parametri più comune invece di , questo equivale a (e penso più comunemente noto come) il problema della copertura dei vertici negli ipergrafi uniformi di massimo grado . Per sottolineare, per coerenza con la letteratura sto usando dove usi , e dove usi .$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

Per ogni costante , i risultati ignorando includono$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$ dalla copertina del set generale.
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ (Dinur et al., 2004) , come osservato da Lev.
• Se la congettura dei giochi unici è vera, allora , che è stretto (Khot & Regev, 2008) .$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

Ignorando ,$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ (banale).
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ (Holmerin, 2002)

L'unico risultato che conosco che combina i due parametri è

• $a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$ per risolto il con , o cresceva lentamente con (Halperin, 2002)$k$$k$$\Delta$

Esiste una connessione tra questo problema e il problema (debole) del set indipendente, ma non sono esattamente sicuro di come siano correlati in termini di approssimabilità. Consiglierei di indagare su questo, magari iniziando qui: [PDF] .

Usando, come nella risposta di James King, la notazione per la migliore approssimazione polinomiale del tempo possibile della copertura dei vertici in ipergrafi uniformi di grado al massimo , abbiamo anche$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1)$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

dall'algoritmo di approssimazione avido per la copertura dell'insieme: la copertura del vertice negli ipergrafi di grado al massimo è lo stesso del problema di copertura dell'insieme con insiemi di dimensioni al massimo , per cui l'algoritmo avido ha un rapporto di approssimazione al massimo , dove è la funzione armonica.$\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

In questo documento lo mostro

(2)$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

a meno che , modificando i parametri in una riduzione di Feige.$P=NP$

Nel caso in cui non l'avessi già trovato; il risultato di durezza più recente per la copertura del vertice di grado limitato che ho trovato nella ricerca recente è Chlebik & Chlebikova , ad esempio circa la durezza di 1,01 nei grafici cubi.

Questo non risponde esattamente alla tua domanda, ma forse può essere d'aiuto - c'è un documento [Dinur et al. 2004] che copre f> 2 (ma sembra non correggere k).