Ambiguità in linguaggi regolari e senza contesto

Comprendo che le seguenti affermazioni sono vere:

1. Due derivazioni distinte di una stringa in un determinato CFG possono talvolta attribuire lo stesso albero di analisi alla stringa.
2. Quando ci sono derivazioni di una stringa in un dato CFG che attribuiscono diversi alberi di analisi, il CFG è ambiguo.
3. Alcuni linguaggi senza contesto generati da CFG ambigui sono generati anche da CFG non ambigui.
4. Alcune lingue sono tali che gli unici CFG in grado di generarli (e ce ne sono alcuni) sono ambigui.

Q1. Capisco anche che sia indecidibile se un CFG arbitrario sia ambiguo, nel senso del precedente punto 3. O è piuttosto indeciso se un linguaggio senza contesto sia ambiguo, nel senso del punto 4? O sono entrambi indecidibili?

Q2. Quale dei punti 1-4 diventa falso quando sostituiamo "senza contesto" con "normale"? Le grammatiche e le lingue regolari sono sempre inequivocabili?

A proposito di Q1: Sia il problema dell'ambiguità (dato un CFG, sia esso ambiguo) sia il problema intrinseco dell'ambiguità (dato un CFG, se il suo linguaggio è intrinsecamente ambiguo, cioè se qualsiasi CFG equivalente è ambiguo) sono indecidibili. Ecco i riferimenti originali:

• L'indecidibilità dell'ambiguità è stata dimostrata da Cantor (1962) , Floyd (1962) e Chomsky e Schützenberger (1963) . Le prove nei libri di testo in genere si riducono dal problema post corrispondenza.
• L'indecidibilità dell'ambiguità intrinseca è stata dimostrata da Ginsburg e Ullian (1966) .

A proposito di Q2: una grammatica regolare è una grammatica senza contesto "lineare unilaterale", dove al massimo un non-terminale appare in qualsiasi parte destra della regola e dove quel non-terminale è all'ultimo (in grammatiche lineari a destra ) o al primo (in grammatiche lineari a sinistra ) posizione. Tali grammatiche sono facilmente tradotte in automi a stati finiti equivalenti (approssimativamente considerando ogni stato non terminale come uno stato), che sono inequivocabili se la grammatica regolare non è ambigua. La classe di grammatiche regolari non ambigue e automi non ambigui è stata studiata in particolare da Stearns and Hunt (1985) , che dimostrano di godere di algoritmi trattabili per il problema dell'inclusione.

1. Informazioni sulla relazione tra derivazioni (cioè sequenze di applicazioni di regole dove è una regola della grammatica) e alberi di derivazione (ovvero dove un nodo contrassegnato con è il genitore di una sequenza di nodi , dove è una regola): in un CFG generale, possono esserci derivazioni diverse, che visitano lo stesso albero di derivazione in modi diversi.$\beta A\gamma\Rightarrow \beta\alpha\gamma$$A\to\alpha$$A$$X_1,\dots,X_m$$A\to X_1\cdots X_m$

   Queste diverse derivazioni si verificano perché si può scegliere tra applicare una regola grammaticale in due posti diversi in una forma sentenziale: in una forma sentenziale con almeno due non terminali e , si può applicare first e ottenere , oppure prima e ottenere , ma l'applicazione dell'altra regola porterà alla stessa . Imposizione all'estrema sinistra (sempre derivante dall'estrema sinistra non terminale in qualsiasi forma sentenziale) o all'estrema destra$\gamma A\eta B\theta$$A$$B$$A\to\alpha$$\gamma\alpha\eta B\theta$$B\to\beta$$\gamma A\eta\beta\theta$$\gamma\alpha\eta\beta\theta$ le derivazioni impongono un ordine fisso per la visita di alberi di derivazione e quindi esiste una singola derivazione per un determinato albero di derivazione.

   In una grammatica lineare senza contesto, non esiste una scelta del genere, poiché esiste al massimo un non terminale in qualsiasi forma sentenziale e esiste una singola derivazione per un determinato albero di derivazione, che è sia all'estrema sinistra che all'estrema destra.

2. Avere due alberi di analisi diversi con la stessa resa (sequenza di foglie) è la definizione di è ambigua, non cambia quando si considerano grammatiche regolari. In alternativa, si possono anche chiedere due diverse derivazioni all'estrema sinistra. Si noti che una derivazione in una grammatica unilaterale corrisponde a una corsa di accettazione nel suo automa a stati finiti associato, che è chiamato ambiguo esattamente allo stesso modo: quando esistono due diverse piste di accettazione per un dato input .$w$$w$$w$

3. e 4. Se prendi la vista degli automi a stati finiti, è sufficiente determinare il tuo automa ambiguo per ottenere un automa inequivocabile per la stessa lingua: ci sarà una singola corsa per una determinata parola. Questo automa deterministico equivale a una grammatica regolare non ambigua.$~$

   Per rispondere al tuo commento: esistono grammatiche regolari ambigue, ad esempio ha due derivazioni più a sinistra per : e . Una grammatica non ambigua equivalente è .a S ⇒ A ⇒ a S ⇒ B ⇒ a S → $S\to A\mid B,\,A\to a,\,B\to a$$a$$S\Rightarrow A\Rightarrow a$$S\Rightarrow B\Rightarrow a$$S\to a$

Informazioni sulla relazione con Q1: è determinabile se una grammatica regolare è ambigua (il problema dell'ambiguità intrinseca non è molto impegnativo nelle grammatiche regolari, poiché la risposta è invariabilmente "no" senza nemmeno guardare la grammatica di input). Questo può essere verificato in usando una costruzione quadrata sul suo automa associato: costruisci il prodotto dell'automa con se stesso, e vedi se un certo stato con è accessibile e accessibile. Il riferimento più antico che conosco per questa idea è un articolo di Even (1965) .( q , q ′ ) q ≠ q $O(|G|^2)$$(q,q')$$q\neq q'$

$G$$\Sigma^*$

Non ho capito bene che tipo di lingue parli in 4. Ogni linguaggio CF ha una grammatica ambigua.

Q2. Tutto è decidibile se hai un accordo con una grammatica regolare. Devi solo costruire un DFA minimo e usarlo puoi costruire una grammatica non ambigua. Se hai un accordo con un linguaggio regolare definito dalla grammatica CF, la risposta è no - vedi Q1.

Dipende dal fatto che tu sostituisca "senza contesto" con "normale" solo davanti a "lingua / e" o anche davanti a "grammatica / e".

Tutte le lingue regolari sono generate da grammatiche regolari , e in particolare da grammatiche regolari non ambigue, ad esempio LL (1) grammatiche regolari a destra, che sono tutte inequivocabili.