Numero di cicli in un grafico

Come molti cicli esistono in un grafo vertice tale che grafico non ha alcun ciclo . $C_k$ $(k \geq 3)$ $n$ $C_m$ $(m>k)$

Ad esempio , , allora il grafico avrà al massimo due 'così che non avrà alcun $n=5$ $k=3$ $C_3$ $G$ $C_k (k > 3).$

Sto pensando che ci saranno $O(n)$ cicli soddisfacenti sopra le condizioni.

Qualcuno mi può aiutare.

graph-theory graph-algorithms

— Kumar
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stai parlando di cicli indotti da vertici? cicli disgiunti?

— Igor Shinkar,

La risposta può dipendere dalla parità di

m - k

$m-k$ . Ad esempio, si consideri un esplosione bilanciata di un ciclo 5. Questo grafico non contiene 6 cicli, ma contiene 5 cicli indotti da

Θ (n^{5})

$\Theta(n^5)$ .

— Igor Shinkar,

@IgorShinkar Ho letto la domanda come "qual è il numero massimo di

k

$k$ -cycles in un grafico

n

$n$ -vertex che non ha

m

$m$ -cycle per qualsiasi

m > k

$m > k$ ?" quindi

m

$m$ non è un parametro, è universalmente quantificato

— Sasho Nikolov,

Presumo che tu stia parlando di cicli indotti (buchi). Se vuoi il numero minimo, è sicuramente 0, un grafico vuoto. Se vuoi il numero massimo, è n ^ 3 per k = 3 (considera un grafico completo).

— Yixin Cao,

@YixinCao Per k = 3, Se consideri un grafico completo con vertici 'n', avremo un ciclo la cui lunghezza è superiore a 3. Sto cercando cicli di numero massimo di lunghezza k in un grafico in modo che il grafico non contenga qualsiasi ciclo di lunghezza superiore a k

— Kumar,

Risposte:

$O(n)$ $k=3$ $k$ $K_{n,k/2}$ $k$ $k$ $(\frac{k}{2}-1)! n^{k/2}=\Theta(n^{k/2})$ $K_{2,n}$

$k$ $O(n)$ $k-1$ $k-1$ $\binom{k-1}{2}$

— David Eppstein
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si, hai ragione :)

— Virgi,

Ho scritto un breve programma di clingo per controllare i piccoli valori (può gestire rapidamente grafici fino a 7 vertici. Oltre a ciò, la messa a terra può richiedere un po 'di tempo):

Ho preso questo tavolo

                            n (vertices)
                         3   4   5   6   7

                      3  1   1   2   2   3

                      4      3   3   6  10

k (cycle length)      5         12  12  12

                      6             60  60

                      7                360

Ecco il programma:

num(1..n).
is_sym_order(empty,0).
ncontains(empty,K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,empty),1) :- num(K).
last(cons(K,empty), K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,S),M+1) :- is_sym_order(S,M), ncontains(S,K), last(S,L), K > L.
ncontains(cons(K,S), J) :- J != K, ncontains(S,J), is_sym_order(cons(K,S),_).
last(cons(K,S), L) :- last(S,L), is_sym_order(cons(K,S),_).
sec_last(cons(A,S),A) :- is_sym_order(cons(A,S),2).
sec_last(cons(K,S), SL) :- sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(K,S),_).
is_sub_order(cons(A,S), M) :- A > SL, sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(A,S), M).

vertex(1..n).
{is_edge(V,W)} :- vertex(V), vertex(W), V < W.
sym_edge(V,W;W,V) :- is_edge(V,W).

is_path(cons(V,empty)) :- vertex(V).

is_path(cons(A,cons(B,S))) :- is_path(cons(B,S)), sym_edge(A,B), is_sym_order(cons(A,cons(B,S)),_).
is_cycle(cons(A,S)) :- is_path(cons(A,S)), is_edge(V,A), last(S,V), is_sub_order(cons(A,S),M), M >= k.

:- is_cycle(S), is_sub_order(S,M), M > k.
prim_cycle(S) :- is_cycle(S), is_sub_order(S,k).
:~ not is_cycle(S), is_sub_order(S,k).[1,S]

num_cycs(C) :- C = #count{is_cycle(S):is_cycle(S)}.
#show is_edge/2.
#show num_cycs/1.
#show prim_cycle/1.

— dspyz
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