Esempi di matematica "non correlata" che gioca un ruolo fondamentale nel TCS?

Elenca gli esempi in cui un teorema della matematica che normalmente non era considerato applicabile in informatica è stato utilizzato per la prima volta per dimostrare un risultato in informatica. I migliori esempi sono quelli in cui la connessione non era ovvia, ma una volta che è stata scoperta, è chiaramente il "modo giusto" per farlo.

Questa è la direzione opposta alla domanda Applicazioni del TCS alla matematica classica?

Ad esempio, vedi "Teorema di Green e isolamento nei grafici planari" , in cui un teorema di isolamento (che era già noto usando una dimostrazione tecnica) viene riprovato usando il teorema di Green dal calcolo multivariato.

Quali altri esempi ci sono?

Maurice Herlihy, Michael Saks, Nir Shavit e Fotios Zaharoglou hanno ottenuto il premio Godel nel 2004 per l'uso della topologia algebrica nello studio di alcuni problemi nel calcolo distribuito.

Ho un esempio di un'opera che ho scritto insieme a Noga Alon e Muli Safra alcuni anni fa:

Noga ha usato teoremi a virgola fissa della topologia algebrica per dimostrare il "Teorema di scissione della collana": se hai una collana con perline di tipo t e vuoi dividere parti di essa tra b persone in modo che ognuna ottenga lo stesso numero di perline da ciascun tipo ( supponiamo che b divida t), puoi sempre farlo tagliando la collana al massimo (b-1) t punti.

Abbiamo usato questo teorema per costruire un oggetto combinatorio che abbiamo usato per dimostrare la durezza dell'approssimazione di Set-Cover.

Altre informazioni qui: http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-rest restrizioni / k - rest.html

In retrospettiva, questo può essere ovvio, ma sono sempre stato affezionato all'applicazione di Steele, Yao e Ben-Or del teorema di Oleinik-Petrovsky / Milnor / Thom (che limita il numero di Betti di veri e propri set semi-algebrici) per dimostrarlo più basso limiti dell'albero decisionale algebrico e dei modelli di calcolo algebrico dell'albero di calcolo.

Uno dei miei risultati preferiti è l'uso di argomenti topologici nella dimostrazione di Lovasz della congettura di Kneser e l'uso di metodi topologici ( e teorici di gruppo ) nell'attacco Kahn-Saks-Sturtevant alla forte congettura di Aandera-Rosenberg-Karp sull'evasività .

La teoria della rappresentazione dei gruppi finiti viene utilizzata nell'approccio Cohn-Kleinberg-Szegedy-Umans alla moltiplicazione delle matrici . Mostrano che se esistono famiglie di ghirlande di prodotti abeliani con gruppi simmetrici che soddisfano determinate condizioni, allora ci sono algoritmi di moltiplicazione di matrice di complessità quadratica.

La teoria della rappresentazione (dei gruppi algebrici) si manifesta anche nell'approccio della teoria della complessità geometrica di Mulmuley e Sohoni ai limiti inferiori. Non è ancora chiaro se questo conta come un'applicazione, poiché non sono stati ancora dimostrati nuovi risultati di complessità con questo approccio, ma almeno è stata stabilita una connessione interessante tra due aree che a prima vista sembrano totalmente non correlate.

Ci sono molti esempi simili. Quando ho appreso per la prima volta la teoria della complessità, ho trovato sorprendente che i teoremi di base sulle radici dei polinomi (come Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Lemma) avessero a che fare con la questione se le prove interattive possono simulare lo spazio polinomiale ( ). Naturalmente, quelle proprietà dei polinomi erano già state usate in precedenti lavori e oggigiorno l'uso dei calcoli "polinomializzanti" è diventato abbastanza standard nella teoria della complessità.$IP = PSPACE$

La teoria dell'approssimazione (che si occupa dell'approssimazione di funzioni a valore reale forse complicate o innaturali mediante funzioni semplici, come i polinomi di basso grado) ha avuto molti usi nella complessità dei circuiti, nella complessità delle query quantistiche, nella pseudocasualità, ecc.

Penso che una delle applicazioni più interessanti di strumenti provenienti da quest'area provenga da questo documento di Beigel, Reingold e Spielman, in cui hanno dimostrato che la classe di complessità PP è chiusa sotto l'intersezione utilizzando il fatto che la funzione del segno può essere approssimata da un valore basso di livello razionale.

Nisan e Szegedy e Paturi mostrato limiti inferiori per approssimare funzioni simmetriche da polinomi basso grado. Questo metodo viene spesso utilizzato per dimostrare i limiti inferiori della complessità della query Quantum. Vedi le note di Scott Aaronson , per esempio.

Un'altra bella idea: l'idea di Yao di utilizzare i principi minimax e la prova che i giochi misti hanno un equilibio (essenzialmente dualità di programmazione lineare) per mostrare limiti inferiori sugli algoritmi randomizzati (costruendo invece una distribuzione sugli input di un algoritmo deterministico).

I teoremi a virgola fissa sono ovunque ...

$n$$O(\log n!)$confronti, duh). La prova di questo fatto passa attraverso la geometria di polipropilene ad alta dimensione. In particolare, la prova utilizza la disuguaglianza di Brunn-Minkowski. Una buona presentazione di questo è nel libro Matousek su Lezioni frontali sulla geometria discreta (Sezione 12.3). La prova originale è di Kahn e Linial, da qui .

Ci sono molti usi della teoria dell'informazione nell'informatica teorica: ad esempio, nel dimostrare limiti inferiori per codici decodificabili localmente (vedi Katz e Trevisan), nella dimostrazione di Raz del teorema della ripetizione parallela, nella complessità della comunicazione (vedi, ad esempio, il thread di lavoro sulla compressione della comunicazione, ad esempio il lavoro relativamente recente di Barak, Braverman, Chen e Rao, e i riferimenti lì), e molto altro ancora.

Alon e Naor hanno usato la disuguaglianza di Grothendieck per dimostrare un algoritmo di approssimazione sul problema del taglio massimo . Penso che ci siano lavori successivi su questo argomento, ma non sono un esperto.

È interessante notare che lo stesso teorema è stato usato da Cleve, Hoyer, Toner e Watrous per analizzare i giochi XOR quantistici e Linial e Shraibman lo hanno usato per la complessità della comunicazione quantistica. Per quanto ne so, la relazione tra la disuguaglianza di Grothendieck e il fondamento della fisica quantistica è stata scoperta da Tsirelson nel 85, ma i due risultati che ho citato riguardano specificamente l'informatica.

Un buon esempio è il teorema di Barrington:

$f$$d$$f$$4^d$

$S_5$

Spina senza vergogna: uso della congettura isotropica (e della geometria convessa in generale) nella progettazione di meccanismi differenzialmente privati ​​approssimativamente ottimali per domande lineari nel mio lavoro con Moritz Hardt .

Per rispondere parzialmente alla domanda di Suresh sopra, penso che la domanda originale sia leggermente delicata a causa del "normalmente considerato non applicabile in informatica". Alcune di queste tecniche che possono sembrare originariamente "non correlate" diventano "normali" nel tempo. Quindi le tecniche di maggior successo (ad es. Analisi di Fourier in Kahn-Kalai-Linial, matrimoni metrici in Linial-Londra-Rabinovich) non sono più risposte valide.

La combinatoria additiva / teoria dei numeri è stata usata molto nella letteratura degli estrattori. Penso che i primi esempi provengano dal notare che i grafici Paley potrebbero essere usati come buoni estrattori, e alcune domande aperte nella teoria dei numeri additivi implicherebbero dei migliori. Il primo riferimento che conosco è Zuckerman 1990 (vedi la sua tesi ), ma negli ultimi anni questa è stata un'area attiva con interessanti viceversa tra TCS e combinatoria additiva. (Uno dei punti salienti è la prova di Dvir della congettura di Kakeya sul campo finito, ma questo è ovviamente un contributo del TCS alla matematica e non viceversa.) A-priori non è chiaro perché questo tipo di domande matematiche, su somme e prodotti di insiemi, sarebbe importante per CS.

Sleator, Tarjan e Thurston hanno dimostrato l'esistenza di una famiglia infinita di coppie di alberi binari di ricerca con nvertici e distanza di rotazione 2n-6usando la geometria iperbolica.

$o(k^2)$

$k^2$

Algebra lineare utilizzata per sparsificare i grafici:

Joshua D. Batson, Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava: sparsificatori due volte ramanujan. STOC 2009: 255-262.

Questo può o meno contare, ma recentemente Zermelo-Fraenkel con gli atomi (ZFA) e le teorie stabilite di Fraenkel-Mostowski (FM) sono state applicate allo studio della sintassi astratta con l'associazione dei nomi. La ZFA fu introdotta all'inizio del XX secolo come strumento per dimostrare l'indipendenza della CH e poi dimenticata, ma riscoperta alla fine degli anni '90 da due scienziati informatici, Gabbay e Pitts, che studiavano qualcosa di completamente scollegato.

Vedi questo documento di indagine per esempio.

L'applicazione di Kahn e Kim dell'entropia grafica all'ordinamento in base a informazioni parziali (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731). Hanno fornito il primo algoritmo temporale polinomiale che esegue il numero di confronti teoricamente ottimale (fino alle costanti). L'articolo è una piccola gita in matematica, che utilizza alcuni argomenti combinatori classici, insieme a geometria convessa, entropia del grafico e programmazione convessa. Esiste un algoritmo più recente più semplice, ma sappiamo ancora come analizzarlo senza entropia del grafico.

La teoria dei numeri è stata utilizzata per sviluppare RSA e altri schemi crittografici a chiave pubblica.

La scoperta della moltiplicazione di Karatsuba è stata sorprendente.