Riduzione al minimo degli automi a stati finiti residui

Gli automi a stati finiti residui (RFSA, definiti in [DLT02]) sono NFA che hanno alcune belle caratteristiche in comune con i DFA. In particolare, esiste sempre una RFSA canonica di dimensioni minime per ogni lingua regolare e la lingua riconosciuta da ogni stato nella RFSA è un residuo, proprio come in un DFA. Tuttavia, mentre un minimo DFA afferma che formano una biiezione con tutti i residui, gli stati canonici della RFSA sono in biiezione con i primi residui; ce ne possono essere in modo esponenziale in meno, quindi gli RFSA possono essere molto più compatti dei DFA per rappresentare le lingue regolari.

Tuttavia, non posso dire se esiste un algoritmo efficiente per ridurre al minimo gli RFSA o se esiste un risultato di durezza. Qual è la complessità della riduzione al minimo delle RFSA?

Dalla navigazione [BBCF10], non sembra che questa sia conoscenza comune. Da un lato, mi aspetto che ciò sia difficile perché molte domande semplici sugli RFSA come "questo NFA è un RFSA?" sono molto difficili, completi in PSPACE in questo caso. D'altra parte, [BHKL09] mostra che le RFSA canoniche sono apprendibili in modo efficiente nel modello di insegnante minimamente adeguato [A87] di Angluin, e apprendere in modo efficiente una RFSA minima e minimizzare le RFSA sembra che dovrebbe essere della stessa difficoltà. Tuttavia, per quanto ne so, l'algoritmo di [BHKL09] non implica un algoritmo di minimizzazione, poiché le dimensioni dei contro-esempi non sono limitate e non è chiaro come testare in modo efficiente gli RFSA per l'uguaglianza per simulare l'oracolo del contro-esempio . Testare due NFA per l'uguaglianza è PSPACE completo , per esempio.

Riferimenti

[A87] Angluin, D. (1987). Apprendimento di insiemi regolari da query e controesempi. Informazione e calcolo, 75: 87-106

[BBCF10] Berstel, J., Boasson, L., Carton, O., & Fagnot, I. (2010). Riduzione al minimo degli automi. arXiv: 1010.5318 .

[BHKL09] Bollig, B., Habermehl, P., Kern, C. e Leucker, M. (2009). Apprendimento in stile Angluin di NFA. In IJCAI , 9: 1004-1009.

[DLT02] Denis, F., Lemay, A., e Terlutte, A. (2002). Automi a stati finiti residui. Fundemnta Informaticae , 51 (4): 339-368.

$\to$$A$$k$$k$$A$$\to$

$\to$$A_1,A_2,\ldots,A_n$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

$L$$k$$L$$A_i$$L$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$k+1$$k$$N$$L$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

$R$$S$$(x_i,y_i)$$i$$x_iy_i\in L$$i\neq j$$x_iy_j \notin R$$x_jy_i\notin R$

$S$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$x_i$$S$$N$$q_i$$x_i$$q$$x_i^{-1}L$$N$

$\to$$\to$$\to$$\to$

$N$

T. Jiang e B. Ravikumar. I problemi minimi di NFA sono difficili. SIAM Journal on Computing, 22 (6): 1117-1141, dicembre 1993.

Hermann Gruber e Markus Holzer. Trovare limiti inferiori per la complessità dello stato non deterministico è difficile. In Oscar H. Ibarra e Zhe Dang, editori, 10a Conferenza internazionale sugli sviluppi della teoria dei linguaggi (DLT 2006), Santa Barbara (CA), USA, volume 4036 di Appunti di lezione di informatica, pagine 363-374. Springer, giugno 2006.

Hermann Gruber e Markus Holzer. Trovare limiti inferiori per la complessità dello stato non deterministico è difficile. Rapporto tecnico ECCC TR06-027, Colloquio elettronico sulla complessità computazionale, 2006.