È il crollo

Tra ogni livello della gerarchia polinomiale sono racchiuse varie classi di complessità, tra cui $\Delta_i^{\text{P}}$ , $\text{DP}$ , $\text{BH}_k$ e $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ . Per mancanza di una migliore terminologia, mi riferirò a queste e ad altre come classi intermedie tra livelli $i$ e $i+1$ nella gerarchia polinomiale. Ai fini di questa domanda, supponiamo che siano le classi contenute in $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ ma contiene $\Sigma_i^\text{P}$ e / o $\Pi_i^\text{P}$ . Vogliamo evitare di includere $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ , se possibile, poiché è banalmente equivalente a $\text{PH}$ se collassa al livello ${i+1}^{th}$ .

Inoltre, definire il seguente:
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

Quanto sopra è una generalizzazione della classe $\text{DP}$ (anche scritta $\text{D}^\text{P}$ ). In questa definizione, $\text{DP}$ è equivalente a $\text{DP}_1$ . È considerato in un'altra domanda cstheory.se . È facile vedere che $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ e contiene sia $\Sigma_i^\text{P}$ che $\Pi_i^\text{P}$ .

Diagramma di riferimento:

Diagramma di PH

Domanda:
supponiamo che la gerarchia polinomiale collassi al livello , ma non collassi al livello . Cioè, e . ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

Possiamo dire qualcosa di più sulle relazioni tra queste classi intermedie stesse e altre in qualsiasi livello inferiore a ? Esiste uno schema per una raccolta di classi di complessità in cui, per ogni raccolta, le classi sono equivalenti se e solo se il collassa esattamente a un livello scelto arbitrariamente? $i+1$ $\text{PH}$

Proprio come un follow-up, supponiamo che la gerarchia sia crollata in una particolare di queste classi intermedie (come ). A seconda della classe selezionata, facciamo a sapere se questo collasso deve continuare a estendersi verso il basso, forse anche per la livello? $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

La domanda di cui sopra è stata parzialmente esplorata e ha risposto in un articolo di Hemaspaandra et. al:
Un crollo verso il basso all'interno della gerarchia polinomiale
Qualcuno è a conoscenza di esempi aggiuntivi non menzionati in questo documento o ha un'intuizione ulteriore su ciò che deve accadere affinché una classe possa realizzare questo?

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
fonte

Non ho una buona risposta, ma nello spirito della complessità, ho alcune risposte che suggeriscono che una buona risposta potrebbe essere difficile da trovare :).

$\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
$\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
Ker-I Ko dà oracoli in cui separa i livelli di da quelli di . Quando queste due gerarchie si intrecciano, ciò fornisce almeno alcune informazioni sui crolli relativizzabili di problemi tra i livelli di . $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
Il prossimo riferimento è nella direzione sbagliata, ma potresti anche essere interessato al risultato e alle sue tecniche. Chang e Kadin hanno dimostrato che se la gerarchia booleana (che vive interamente al di sotto del secondo livello di , ma si estende a tutta una gerarchia) crolla al suo livello -esimo quindi crolli al -esimo livello della gerarchia booleana su . $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— Joshua Grochow
fonte

Dovrebbe be

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

— T ....

scusa ma ho pensato corretto? Ad esempio:

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$

— T ....