Ostacoli alla separazione di altre classi di complessità

Do naturale Prove , Relativizzazione e Algebrization influenzano anche la separazione di altre classi di complessità come $L\neq NL\neq NP\neq coNP \neq PH\neq PSPACE$ ecc?

Ad esempio, la barriera per prove naturali dovrebbe influire su qualsiasi prova di poiché separerà . Tuttavia, la relazione tra e non sembra avere molto con gli OWF rispetto alla relazione tra e . Quindi le prove naturali influenzano la più forte separazione di ?$NP\neq CoNP$$P\neq NP$$NP$$CoNP$$P$$NP$$NP\neq CoNP$

Vi sono (almeno) due aree in cui le barriere esistenti hanno poco da dire:

Limiti inferiori dell'ACC Non esiste alcuna barriera nota per dimostrare che TC0 non si trova nell'ACC (non uniforme), a parte la possibilità che la separazione possa essere falsa. Non è chiaro se la barriera Natural Proofs debba essere applicata all'ACC. La domanda si riduce a: dovremmo aspettarci che ci siano funzioni pseudocasuali implementabili in ACC?

LOGSPACE vs NP Come sottolineato da Fortnow , i meccanismi oracolari esistenti per il calcolo limitato dallo spazio non sembrano rappresentare una vera barriera per LOGSPACE vs NP. Per quanto ne so, i modelli di oracoli noti che producono un collasso di LOGSPACE e NP collassano anche ALTERNATING LOGSPACE (ovvero P) e ALTERNATING POLYTIME (ovvero PSPACE), quindi questi oracoli trattano i modelli computazionali alternati in modo incoerente con la realtà (poiché LOGSPACE non è uguale a PSPACE).

Il risultato di Razborov e Rudich nel loro documento di prove naturali è abbastanza generale. Non si limita a vs. N P .$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Personalmente mi piace la chiarezza della spiegazione nel recente libro di Stasys Jukna " Boolean Function Complexity: Advances and Frontiers ":

Definizione 18.30. Una funzione con l < n è chiamata generatore pseudocasuale sicuro ( s , ϵ ) se per qualsiasi circuito C di dimensioni s su n variabili, | P r [ C ( y ) = 1 ] - P r [ C ( G $G : \{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$$l < n$$(s,\epsilon)$$C$$s$$n$ dove y è scelto uniformemente in modo casuale in { 0 , 1 } n , e x in { 0 , 1 } l .

$$|Pr[C(y) = 1] − Pr[C(G(x)) = 1]| < \epsilon,$$ $y$$\{0,1\}^n$$x$$\{0,1\}^l$

Definizione 18.31. Sia una funzione booleana. Diciamo che f è ( s , ϵ ) -hard se per qualsiasi circuito C di dimensione s , | P r [ C ( x ) = f ( x ) ] - $f : {0,1}^n \to {0,1}$$f$$(s,\epsilon)$$C$$s$ dovexviene scelto in modo uniforme in modo casuale in{0,1}n.

$$|Pr[C(x) = f(x)] − \frac{1}{2}| < \epsilon,$$ $x$$\{0,1\}^n$

Un generatore di funzioni pseudo-casuale è una funzione booleana . Impostando le variabili y su casuale, otteniamo la sua funzione secondaria casuale f y ( x ) = f ( x , y ) . Sia h : { 0 , 1 } n → { 0 , $f(x,y) : \{0,1\}^{n+n^2} \to \{0,1\}$$y$$f_y(x) = f(x,y)$ essere una funzione booleana veramente casuale. Un generatore f ( x , y ) è sicuro contro Γ -attacchi se per ogni circuito C in Γ , | P r [ C ( f y ) = 1 ] - P r [ C ( h ) = 1 ] | < 2 - n 2$h : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f(x,y)$$\Gamma$$C$$\Gamma$

$$|Pr[C(f_y) = 1] − Pr[C(h) = 1]| < 2^{−n^2}.$$

$\Gamma$$\Lambda$$\Phi : B_n \to {0,1}$
$\Lambda$$\Phi(f) = 1$$f \notin \Lambda$
$\Phi(f) = 1$$2^{−O(n)}$$2^{2^n}$$f \in B_n$
$\Phi \in \Gamma$$N = 2^n$$\Phi$$\Gamma$

$\Lambda$$\Gamma$$\Lambda$

La domanda è: 1. Crediamo che ci siano funzioni così difficili? 2. Quanto ci aspettiamo che siano costruttive / grandi le proprietà nelle prove di separazione attualmente possibili?

D'altra parte, Razbarov ha menzionato in vari punti che vede personalmente il risultato come guida per cosa evitare e non come un ostacolo essenziale alla dimostrazione di limiti inferiori.

A parte gli articoli di Ryan Williams degli ultimi anni, c'erano due articoli che ha menzionato:

1. $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

2. $\mathsf{NC^1}$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{TC^0}$

La relativizzazione e l'algebraizzazione sono un po 'più complicate e dipendono dal modo in cui definiamo la relativizzazione per queste classi. Ma come regola generale semplice diagonalizzazione (una diagonalizzazione che utilizza lo stesso contro-esempio per tutte le macchine che calcolano la stessa funzione, cioè il contro-esempio dipende solo da quali macchine nel calcolo più piccolo e non dipende dal loro codice e da come calcolano ) non possono separare queste classi.

È possibile estrarre funzioni di diagonalizzazione non semplici da risultati di diagonalizzazione indiretta come limiti inferiori spazio-tempo per SAT.