Crescita comparata del numero di classi sintattiche e classi Nerode.

Per una lingua L ⊆ Σ ^ * , definire la congruenza sintattica ≡ di L come la minima congruenza su Σ ^ * che satura L , cioè:

u ≡ v ⇔ (∀ x, y) [xuy ∈ L ↔ xvy ∈ L].

Definire ora l' equivalenza di Nerode come la seguente congruenza giusta:

u ∼ v ⇔ (∀ x) [ux ∈ L ↔ vx ∈ L].

Sia [u] la classe di equivalenza di u rispetto a ≡ e 〈u〉 rispetto a ∼ . Ora definisci i (n) come il numero di [u] diverso per u di dimensione n , e definisci j (n) in modo simile per ∼ .

Ora la domanda è: come si relazionano le due funzioni?

Ad esempio, un teorema standard (Kleene-Schützenberger, credo) dice che i (n) è delimitato da una costante ogni volta che j (n) lo è e reciprocamente.

Domanda: c'è qualche altro risultato in questa tendenza? E se uno di questi fosse polinomiale, per esempio?

Sembra che questo documento http://arxiv.org/abs/1010.3263 possa essere pertinente alla tua domanda.

Gli stati astratti:

$n$$n^{n-1}$$n^{n-1}+n-1$$n^{n-2}+(n-2)2^{n-2}+1$

Quindi, per quanto ho capito, questo risponde alla tua domanda sulle dimensioni del semigruppo sintattico e Myhill-Nerode: in generale, la congruenza sintattica può avere molte classi in modo esponenziale rispetto alla relazione Myhill-Nerode.

$n^n$$n$