Il più piccolo circuito booleano per generare una lingua

Considera una lingua non vuota di stringhe binarie di lunghezza . Posso descrivere con un circuito booleano con ingressi e un'uscita tale che è vero se : questo è ben noto.$L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

Tuttavia, voglio rappresentare con un booleana circuito con uscite ed un certo numero di ingressi, dire , tale che l'insieme dei valori di uscita di per ciascuno dei possibili ingressi è esattamente .$L$$C'$$n$ $m$$C'$$2^m$$L$

Dato , come posso trovare un tale circuito di dimensioni minime, e qual è la complessità? Esiste una relazione tra limiti noti relativi alle dimensioni dei circuiti del primo tipo ( ) e circuiti di questo secondo tipo ( C ' ) o alla complessità di trovarli?$L$$C'$$C$$C'$

(Osserva che esiste una sorta di dualità nel seguente senso: dato , posso facilmente decidere se una parola di input è in valutando il circuito, ma è NP-difficile in generale trovare qualche parola in trovando un'assegnazione tale che l'output sia vero. Dato è anche NP-difficile decidere se una parola di input è in perché devo vedere se un'assegnazione produce come output, ma è facile trovare qualche parola in valutando il circuito su qualsiasi ingresso arbitrario.)$C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

Indicherò una semplice connessione a circuiti non deterministici e commenterò brevemente la durezza crittografica.

Per S ⊆ { 0 , 1 } n , definire la complessità dell'immagine, indicata con i m c ( S ) , come il numero minimo di gate in qualsiasi circuito booleano (fanin-two, AND / OR / NOT) C : { 0 , 1 } m → { 0 , 1 } n la cui immagine è S . La domanda si pone sulla complessità dell'informatica i m c ( S ) , data una rappresentazione della tabella di verità di $S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$(una stringa di lunghezza 2 n ).$2^n$

Definisci anche la complessità del circuito non deterministico di S , che indicheremo n c c ( S ) , come il più piccolo circuito non deterministico C ( x , y ) : { 0 , 1 } n + m ′ → { 0 , 1 } che accetta esattamente S . Cioè, richiediamo di C che x ∈ S iff ∃ y : C ( $S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$, y ) = 1 . Questa è una nozione standard, usata per definire la classe non uniforme N P / p o l y : è la classe di tutti gli insiemi S = { S n } n > 0 , con S n ⊆ { 0 , 1 } n , tale che n c c ( S n ) ≤ p o l y ( n ) .$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

Quello che volevo sottolineare è che i m c ( S ) = n c c ( S ) ± O ( n ) . Entrambe le direzioni di questa disuguaglianza sono semplici da verificare. $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

Sia d c c ( S ) denota la complessità del circuito deterministico. Utilizzando Razborov-Rudich, la carta che Dai Le menzioni spettacoli (grosso modo qui) che, in determinate ipotesi di crittografia, è computazionalmente difficile distinguere di verità tavoli di S con d c c ( S ) piccolo, dalla Verità-tavoli di veramente casuale S (con d c c ( S ) quasi massima). Anche la S casuale ha n c c ( S ) quasi massima, e ovviamente abbiamo$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$n c c ( f ) ≤ d c c ( f ) . Quindi il tuo problema è difficile con le stesse ipotesi.$ncc(f) \leq dcc(f)$

Quale è più difficile da calcolare data una tabella di verità per S , d c c ( S ) o n c c ( S ) ? C'è una riduzione in entrambi i modi? Non lo so.$S$$dcc(S)$$ncc(S)$

Dovresti dare un'occhiata a questo articolo di Kabanets e Cai. Citerò l'abstract del documento:

Studiamo la complessità del problema di minimizzazione del circuito: data la tabella di verità di una funzione booleana f e un parametro s , decidiamo se f può essere realizzato da un circuito booleano di dimensioni al massimo s . Ci sostengono perché questo problema è improbabile che sia in P (o anche in P / p o l y ) dando una serie di conseguenze sorprendenti di tale ipotesi. Sosteniamo inoltre che, per dimostrare che questo problema sia N P -complete (se è vero) implicherebbe dimostrando forte circuitali limiti inferiori per la classe E , che appare oltre le tecniche attualmente note.$f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

Sebbene il circuito C ′ che hai citato calcoli una funzione F : { 0 , 1 } m → L , possiamo pensarlo come una sequenza di circuiti C ′ 1 , C ′ 2 , … , C ′ n , dove C ′ i calcola la i t h uscita morse di F . Poiché ogni C ' i calcola una funzione booleana { 0 , 1 } $C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$$C'_i$→ { 0 , 1 } , minimizzando i circuiti C ′ i sembra difficile secondo il risultato sopra.$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$