Una macchina a due contatori può decidere ?

Può una macchina standard a due contatori ( ) con le seguenti istruzioni: $c_1,c_2$

1) ADD 1 to c_i, GOTO label_j
2) IF c_i = 0 GOTO label_j, OTHERWISE SUB 1 to c_i and GOTO label_k
3) GOTO label_j
4) HALT and ACCEPT|REJECT

decidere la seguente lingua:

L = {n^{2} ∣ n \geq 1}

$L = \{ n^2 \mid n \geq 1 \}$

(l'input viene inizialmente caricato nel contatore ) ?. $c_1$

È ancora un problema aperto? (cfr. Rich Schroeppel, "Una macchina a due contatori non può calcolare " [1972]) $2^N$

fl.formal-languages counter-automata

— Marzio De Biasi
fonte

Sto cercando di cogliere il maggior numero di risultati importanti della carta e sono davvero sorpreso dalla aritmetica progressione Teorema a pagina 12. Supponiamo che è la più grande divisore dispari di . Quindi cosa sarebbero e ? Probabilmente ho frainteso qualcosa da qualche parte ...

F (N)

$F(N)$

N

$N$

D

$D$

M

$M$

— domotorp,

Ora lo guarderò, ma sei sicuro che "il più grande divisore dispari di N" è calcolabile da un 2CM?

— Marzio De Biasi,

@domotorp: a proposito ho fatto la stessa domanda anche su mathoverflow , ma non ho avuto nuove idee

— Marzio De Biasi,

Penso che se continui a dividere N per 2 finché puoi, otterrai il più grande divisore dispari e questo dovrebbe essere semplice da fare.

— domotorp,

Ok, penso che se (con dispari) e è la potenza maggiore di due maggiore di , è la potenza maggiore di due maggiore di , possiamo impostare , . Informalmente se ha bit, allora puoi tranquillamente espandere il bit più significativo di aggiungendo e il risultato cambierà di .

N = 2^{k} x

$N = 2^k x$

x

$x$

2^{i}

$2^{i}$

N

$N$

2^{l}

$2^{l}$

x

$x$

D = 2^{i - 1}

$D=2^{i-1}$

M = 2^{l - 1}

$M = 2^{l-1}$

N

$N$

i

$i$

N

$N$

j 2^{i - 1}

$j 2^{i-1}$

j 2^{l - 1}

$j 2^{l-1}$

— Marzio De Biasi,

Il problema è stato risolto in:

Oscar H. Ibarra, Nicholas Q. Trân, Una nota sui programmi semplici con due variabili, Teoretical Computer Science, Volume 112, Numero 2, 10 maggio 1993, Pagine 391-397, ISSN 0304-3975, http: //dx.doi .org / 10.1016 / 0304-3975 (93) 90028-R .

Sia la classe di linguaggi riconosciuta dalle macchine a due contatori. $TV$

Teorema 3.3 : per qualsiasi numero intero fisso , $k \geq 2$ $L_k = \{ n^k \mid n \geq 0 \} \notin TV$

Nota: è strano che nel documento di Ibarra & Tran

$f$ $f(a + bn)=f(a)+cn$ $n \geq 0$ $(a,b,c)$ $f$

è dimostrato e gli autori affermano che è stato derivato in una forma leggermente diversa in:

IM Barzdin, Ob odnom klasse machin Turinga (machiny Minskogo), Russian, Algebra i Logika 1 (1963) 42-51

ma non citare l'articolo di Rich Schroeppel (1972) in cui deriva anche il teorema ... :-)

— Marzio De Biasi
fonte

Non sono sicuro che sia mai strano che un articolo di vent'anni non venga citato: presumibilmente gli autori non lo sapevano e nemmeno gli arbitri.

— David Richerby,

@DavidRicherby: Sarei curioso di vedere come il teorema di Schroeppel (1972) differisce da quello corrispondente in Barzdin (1963) :-) ... ma non ho accesso al documento di Barzdin

— Marzio De Biasi