Approssimazione in tempi subsponenziali

Esistono studi sugli algoritmi di approssimazione per problemi NP completi in tempo polinomiale e algoritmi esatti in tempo esponenziale. Esistono studi sugli algoritmi di approssimazione per i problemi completi di NP nel tempo subesponenziale della forma dove ? $2^{n^{\delta_2}}$ $\delta_2\in(0,1)$

Sono particolarmente interessato a ciò che è noto sui problemi approssimativi del tempo difficile o polinomiale come il numero di indipendenza e il numero di Clique in tempo subesponenziale? Si noti che ETH proibisce il calcolo esatto solo in un tale intervallo di tempo. Supponiamo che il numero di indipendenza sia su un grafico con conteggio dei vertici per alcuni . È possibile uno schema di approssimazione del fattore per il numero di Indipendenza nel tempo dove e sono alcuni reali positivi fissi? $\alpha(G)=2^{r(n)n}$ $|V|=2^{s(n)n}$ $0<r(n)<s(n)$ $2^{(r(n)n)^{\delta_1}}$ $2^{|V|^{\delta_2}}=2^{2^{\delta_2s(n) n}}$ $0<\delta_1<1$ $0<\delta_2<1$

Cioè per ogni c'è un $\delta_1\in(0,1)$ $\delta_2\in (0,1)$ tale che $\alpha(G)$ può essere approssimato entro $2^{\log_2^{\delta_1}(\alpha(G))}=2^{(r(n)n)^{\delta_1}}$ fattore nel tempo ? $2^{|V|^{\delta_2}}=2^{2^{\delta_2s(n) n}}$

approximation-algorithms approximation-hardness

— T ....
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intendevi veramente chiedere il tempo di esecuzione sublineare nel numero indipendente?

— Sasho Nikolov,

No, il tempo di esecuzione è sub-esponenziale. Completamente esponenziale sarebbe

. Qui il tempo di esecuzione è di forma

e qui

2^{| V |}

$2^{|V|}$

2^{| V |^{δ_{1}}}

$2^{|V|^{\delta_1}}$

α (G) = 2^{r (n) n} = | V |^{\frac{r (n)}{s (n)}} < | V | = 2^{s (n) n}

$\alpha(G)=2^{r(n)n}=|V|^{\frac{r(n)}{s(n)}}<|V|=2^{s(n)n}$

— T ....

Dovrebbe essere

nel commento precedente e abbiamo

δ_{2}

$\delta_2$

α (G) < | V | < 2^{| V |^{δ_{2}}} < 2^{| V |}

$\alpha(G)<|V|<2^{|V|^{\delta_2}}<2^{|V|}$

— T ....

Penso di aver avuto errori di battitura prima.

— T ....

È chiaro adesso?

— T ....

Risposte:

Un documento che fornisce una risposta a questa domanda è Chalermsook, Laekhanukit e Nanongkai (2013) .

Ci sono anche lavori correlati nel contesto della tracciabilità dei parametri fissi come Hajiaghayi, Khandekar, & Kortsarz (2013) e Chitnis, Hajiaghayi, Kortsarz (2013) . Questi risultati sulla durezza sono comprovati da varie ipotesi come l'ETH o l'esistenza di PCP molto potenti.

— Igor Shinkar
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arxiv.org/pdf/1308.2617v2.pdf dice "Per ogni

maggiore di una costante, qualsiasi algoritmo di approssimazione

per il massimo problema di set indipendente deve essere eseguito in almeno

tempo. Questo quasi corrisponde al limite superiore di

". Quindi il rapporto di approssimazione

può essere raggiunto in

r

$r$

r

$r$

2^{n^{1 - ϵ} / r^{1 + ϵ}}

$2^{{n^{1-\epsilon}}/{r^{1+\epsilon}}}$

2^{n / r}

$2^{n/r}$

r = 2^{(s (n) n)^{δ_{1}}}

$r=2^{({s(n)n})^{\delta_1}}$

tempo per alcuni

2^{2^{r (n) n - (s (n) n)^{δ_{1}}}} = 2^{2^{1 - \frac{(s (n) n)^{δ_{1}}}{r (n) n} r (n) n}} = 2^{2^{δ_{2} r (n) n}}

$2^{2^{r(n)n - ({s(n)n})^{\delta_1}}} = 2^{2^{1 - \frac{({s(n)n})^{\delta_1}}{r(n)n}r(n)n}}=2^{2^{\delta_2 r(n)n}}$

δ_{2} > 1 - \frac{(s (n))^{δ_{1}} n^{δ_{1} - 1}}{r (n)}

$\delta_2 >1 - \frac{({s(n)})^{\delta_1}{n}^{\delta_1-1}}{r(n)}$

— T ....

Esistono molti algoritmi (approssimazione di parametri fissi) per i quali un parametro sublineare si traduce in tempo subesponenziale nella lunghezza dell'ingresso. $FPA$

Ad esempio, approssimando il numero di percorsi semplici di lunghezza , per alcuni (dove ), si ottiene un tempo di esecuzione di: $k$ $k=n^c$ $c<1$

. $O((2e)^{n^c}\cdot 2^{polylog(n)})$

— RB
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