Algoritmi esatti per Set di dominanti r su grafici di larghezza degli alberi limitati

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Dato un grafo, , voglio trovare un'ottimale -domination per . Cioè, voglio un sottoinsieme di tale che tutti i vertici in sono ad una distanza di più da qualche vertice in , riducendo al minimo le dimensioni di . $G = (V, E)$ $r$ $G$ $S$ $V$ $G$ $r$ $S$ $S$

Da ciò che ho controllato finora, ho ottenuto quanto segue: Esiste questo problema correlato nel trovare un centro in un grafico che è un sottoinsieme di dimensione al massimo tale che tutti i vertici nel grafico sono ad una distanza massima di da un vertice in (qui entrambi e sono parti dell'input) per i quali Demaine et al . avere un algoritmo FPT per grafici planari. Altrimenti il problema è -hard anche per . $(k,r)$ $S$ $k$ $r$ $S$ $|S| \leq k$ $r$ $W[2]$ $r = 1$

Si sa qualcosa sull'esatta complessità del problema della -dominazione per i grafici della larghezza degli alberi limitati o anche solo degli alberi? (È possibile definire -domination MSO? Il solito problema con -dominating set è definibile MSO - che quindi consentirebbe di usare il teorema di Courcelle per concludere che esiste un algoritmo di tempo lineare per il problema). Sono noti risultati di durezza condizionale relativi a questo problema? $r$ $r$ $k$

— Nikhil
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Un ottimale

-domination per

è un dominio ottimale per la

esima potenza

e viceversa. Quindi, il problema della

-dominazione è risolvibile in tempo polinomiale per gli alberi e, più in generale, per i grafici con larghezza degli alberi limitata.

r

$r$

G

$G$

r

$r$

G^{r}

$G^r$

r

$r$

— vb,

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@vble Immagino che

sia stato risolto. Ma perché è il

-domination problema risolvibile per l'albero limitato grafici larghezza? la potenza di tali grafici ha una larghezza dell'albero illimitata.

r

$r$

r

$r$

— Peng O

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Sì,

è stato risolto, grazie. Sì,

ha sconfinato albero di larghezza, ma limitata cricca larghezza (a causa di Gurski e Wanke) e il solito problema dominio è MSO definibile.

r

$r$

G^{r}

$G^r$

— vb,

@vble Grazie! Puoi fornire referenze e rispondere al tuo commento?

— Nikhil,

@ Nikhil: fatto.

— vb, il

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Una -domination (ottimale) per è una dominazione (ottimale) per la potenza e viceversa ( si ottiene da aggiungendo nuovi bordi tra vertici distinti della distanza al massimo ). $r$ $G$ $r$ $G^r$ $G^r$ $G$ $r$

Sono ben noti i seguenti fatti: (1) Tutti i poteri di un grafico fortemente cordale sono fortemente cordiali (A. Lubiw, tesi di laurea; vedi anche Dahlhaus & Duchet, Sui grafici fortemente cordiali, Ars Combin. 24 B (1987) 23-30 ) e (2) Il dominio è risolvibile in tempo lineare per grafici fortemente cordiali (M. Farber. Dominio, dominio indipendente e dualità in grafici fortemente cordiali, Discrete Appl. Math., 7 (1984) 115–130). Quindi la -dominazione è risolvibile in tempo polinomiale per grafici fortemente cordiali, in particolare per alberi ( fissi o meno). $r$ $r$

Gurski & Wanke dimostrato in questo documento che la cricca larghezza di è al massimo , dove è l'albero larghezza di . Pertanto, per fissa , le potenze di grafici a larghezza d'albero limitata hanno limitato la larghezza della cricca. Quindi, per fisso , la -dominazione è risolvibile in tempo polinomiale per grafici di larghezza dell'albero limitata (dal teorema di Courcelle). $G^r$ $2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$ $\text{tw}(G)$ $G$ $r$ $r$ $r$ $r$

— vb le
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È abbastanza facile eseguire una programmazione dinamica sui grafici della larghezza dell'albero per questo problema. Si può mantenere per ciascun vertice in una borsa la distanza più breve da qualche vertice nella soluzione parziale e la distanza dalla soluzione futura necessaria per dominare i vertici non addominati. $k$

Questo in totale fornisce una dimensione della tabella di quindi per fisso questo problema è FPT parametrizzato dalla larghezza dell'albero, tuttavia se non è riparato diventa un algoritmo XP. Per quanto ne so la domanda se questo problema è FPT per tutti i valori di è aperta. $O(r^k)$ $r$ $r$ $r$

— Martin Vatshelle
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Forse cambiare

in

?

r^{k}

$r^k$

r^{O (k)}

$r^{O(k)}$

— daniello,

9

Dawar e Kreutzer hanno dimostrato che il problema è riconducibile a parametri fissi su classi di grafici densi, che includono i grafici planari, i grafici della larghezza dell'albero (locale) limitata e tutte le classi con minori (localmente) esclusi.

Dvorak ha dimostrato che esiste un'approssimazione polinomiale del fattore costante temporale per le classi di espansione limitata, che include i grafici planari, i grafici della larghezza dell'albero delimitata e tutte le classi con minori esclusi.

— Sebastian Siebertz
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C'è un recente articolo di Glencora Borradaile, Hung Le: Optimal Dynamic Program for r-Domination Problems over Tree Decompositions (IPEC 2016). Qui mostrano che esiste un algoritmo che fornisce come input un grafico $G$ , un numero intero $r$ e una decomposizione degli alberi di $G$ di larghezza $w$ , calcola un ottimale $r$ -dominating set of $G$ in tempo $O((2r+1)^wn)$ . Furthermore, they show that this is the best one can do, in the following sense: an algorithm with running time $O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$ for $\epsilon > 0$ would contradict the Strong Exponential Time Hypothesis.

— daniello
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A linear sequential algorithm to compute a optimal r-domination for a tree is due to Slater:

P. Slater. R-domination in graphs. J. ACM, 23(3):446–450, July 1976. doi:10.1145/321958.321964

A distributed algorithm for the same setting is due to Turau and Köhler:

Volker Turau and Sven Köhler. A Distributed Algorithm for Minimum Distance-k Domination in Trees. Journal of Graph Algorithms and Applications, 19(1):223–242,5 (see http://jgaa.info/getPaper?id=354)

— Volker Turau
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