È contenuto in ?

Ho pensato di condividere questa domanda in quanto potrebbe essere interessante per altri utenti qui.

Supponiamo che una funzione che si trova in una classe uniforme (come ) sia anche in una piccola classe non uniforme (come , cioè non uniforme ), ciò implica che la funzione è contenuta in una classe uniforme più piccola ( come )? Se la risposta a questa domanda è positiva, qual è la più piccola classe di complessità uniforme che contiene ? Se negativo, possiamo trovare un controesempio naturale interessante? $NP$ $AC^0/poly$ $AC^0$ $P$ $NP \cap AC^0/poly$

È contenuto in ? $AC^0/poly \cap NP$ $P$

Nota: un amico ha già parzialmente risposto alla mia domanda offline, aggiungerò la sua risposta se non la aggiunge da sola.

La domanda è il mio secondo tentativo di formalizzare la seguente domanda informale:

La non uniformità può aiutarci a calcolare i problemi di uniformità naturali?

Relazionato:

Esiste un candidato per un problema naturale in ? $P/poly−P$

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— Kaveh
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@Kaveh: Forse una domanda interessante sarebbe quella di chiedere un problema naturale in P / poly e NP, ma non in P. (O forse è troppo facile?)

— Robin Kothari,

@Robin: che sembra interessante, ma non sono sicuro che sarebbe stato più facile trovare un problema naturale in .

N P \cap P / p o l y - P

$NP \cap P/poly - P$

— Kaveh,

@tutti: ho bisogno di pensare un po 'di più a questa domanda e alle risposte. Sembra una domanda molto naturale. Ma mi sento a disagio per le risposte: in primo luogo, possiamo indebolire il presupposto sostituendo con dove è una funzione in rapida crescita; secondo, il controesempio non è solo in ma ha circuiti di dimensione 1 in quanto la funzione è costante su tutti gli ingressi di dimensione per tutti ! Queste due ragioni potrebbero dire che questa non è la domanda giusta da porre.

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

N T i m e (f) \neq D T i m e (f)

$NTime(f) \neq DTime(f)$

f

$f$

A C^{0} / p o l y

$AC^0/poly$

n

$n$

n

$n$

— Kaveh,

@Kaveh: Forse potresti voler guardare la classe YP, definita da Scott Aaronson. È come P / poly, ma il "consiglio" non è attendibile. In altre parole, è come NP intersecare CONP, ma il testimone può dipendere solo dalla lunghezza dell'input. YP è in P / poli ed è una classe uniforme. Forse un problema in YP ma non in P è un esempio del problema che stai cercando. Sarebbe naturale, uniforme, non in P, in P / poli, e forse non banale poiché il consiglio deve essere verificato dal circuito.

— Robin Kothari,

@Kaveh: La classe YP ("Yoda Polynomial-Time") è definita più formalmente nel documento di Scott "L'apprendibilità degli stati quantistici" [quant-ph / 0608142]

— Alessandro Cosentino,

Risposte:

Ecco una semplificazione della risposta di Ryan. Supponiamo che . Definisci la lingua . L'assunzione traduce . Inoltre, banalmente . $\Lambda \in NE \setminus E$ $L = \{x : |x| \in \Lambda\}$ $\Lambda \in NE \setminus E$ $L \in NP \setminus P$ $L \in AC^0/poly$

— Yuval Filmus
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Bella risposta Yuval!

— Dai Le

Sostanzialmente la stessa trasformazione è usata nel libro 1974 per mostrare che E ≠ NE se e solo se NP ∖ P contiene un linguaggio di conteggio.

— Tsuyoshi Ito

Giusto per essere sicuri: capisco correttamente cheè la lunghezza di scritta in unario?

| x |

$|x|$

x

$x$

— Vincent,

@Vincent Qui è una stringa anziché un numero intero eè la sua lunghezza.

x

$x$

| x |

$|x|$

— Yuval Filmus,

sì, questo è ciò che mi confonde. Seè la lunghezza di una stringa, quindiè un numero intero, quindi come può essere un elemento di ?

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

Λ

$\Lambda$

— Vincent,

Rispondi alla tua prima domanda: sembra improbabile.

Teorema: Se poi . $NP \cap AC^0/poly \subseteq P$ $NEXP = EXP$

Dato un circuito che emette un bit, definire la decompressione di C come stringa di bit ottenuta valutando su tutti i possibili ingressi. Cioè, la decompressione è . $C$ $C$ $C(0^n) C(0^{n-1}1) C(0^{n-2}10) \cdots C(1^n)$

Definire il problema Succinct 3SAT come: dato un circuito di dimensione , la sua decompressione codifica una formula booleana soddisfacente? $C$ $n$ Succinct 3SAT è noto per essere completo . $NEXP$

Ora considera la lingua

$L =$ {il numero intero scritto in binario è un'istanza sì di Succinct 3SAT}. $1^n |$ $n$

$L$ è chiaramente in , dato che puoi semplicemente stabilire se è in , per ogni . $AC^0/poly$ $1^n$ $L$ $n$

$L$ è anche in : l'intero scritto in binario ha una lunghezza di circa , quindi la decompressione di questo circuito non ha lunghezza superiore a . Quindi l'incarico soddisfacente ha lunghezza al massimo . $NP$ $n$ $\log n$ $O(n)$ $O(n)$

Ma con le stesse osservazioni, se , quindi , perché significa che hai un algoritmo temporale per decidere ogni istanza di Succinct 3SAT di lunghezza . $L \in P$ $NEXP=EXP$ $O(n^c)$ $\log n$

La tua seconda domanda è aperta (e aperta).

— Ryan Williams
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Perché hai bisogno di prendere qualche problema completo?

— Yuval Filmus,

Ho pensato che rendesse più facile seguire l'argomento.

— Ryan Williams,

Grazie Ryan per la tua bella risposta e la spiegazione. Immagino che non ti dispiacerebbe se accetto la risposta di Yuval anche se sei stata la prima persona a pubblicare.

— Kaveh,

Alla domanda di Kaveh "La non uniformità può aiutarci a calcolare i problemi di uniformità naturali?"

Penso che la risposta sia "sì", a volte. Considera, ad esempio, il problema della somma dei sottoinsiemi: data una sequenza di numeri reali positivi, decidi se alcuni sottoinsiemi di essi sommano fino a . Questo è un problema NP-difficile anche se limitato a numeri interi positivi (Zaino). Ma Friedhelm Meyer auf der Heide (1984) ha dimostrato che, per qualsiasi , il problema può essere risolto da un albero di decisione lineare di profondità inferiore a . In un tale albero i test hanno la forma: è una combinazione lineare di variabili di input maggiori di qualche soglia. La non uniformità qui è importante: per ogni potremmo avere un algoritmo completamente diverso (albero decisionale). $n$ $1$ $n$ $n^5$ $n$

Riferimenti:

Friedhelm Meyer auf der Heide, " Un algoritmo di ricerca lineare polinomiale per il problema dello zaino n-dimensionale ", 1984

— Stasys
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Grazie. Risultato interessante, ma guardando un algoritmo di ricerca lineare polinomiale per il problema dello zaino n-dimensionale , mi sembra un po 'imbroglione. La dimensione del programma non uniforme è esponenziale, solo la profondità è polinomiale, è come considerare l'intero albero di calcolo di un algoritmo NP su input di dimensione (è come circuiti di dimensioni esponenziali di profondità polinomiale).

n

$n$

— Kaveh,

Con un argomento simile, possiamo dire che qualsiasi problema è risolvibile in tempo costante , perché la tabella delle risposte può essere espressa da un CNF. Mi piace più la costruzione di Ryan e Yuval perché dimostra che sebbene il problema sia complicato in un'impostazione uniforme, per ogni dimensione di input è molto facile da risolvere.

2

$2$

— Kaveh,

Kaveh, hai ragione: qui siamo interessati al tempo (= profondità), non allo spazio (= registro delle dimensioni della rete). Ma nota che un banale algoritmo per Subset-Sum richiederebbe tempo (profondità) per testare tutti i sottoinsiemi di una determinata stringa di input. Inoltre, ho pensato che chiedessi dei candidati naturali , non solo per la separazione :-)

2^{n}

$2^n$

— Stasys

Ovviamente, il problema Somma-sottoinsieme ha un banale algoritmo non deterministico: basta indovinare un sottoinsieme che somma fino a . Ma parliamo di algoritmi deterministici . E quello di Mayer auf der Heide è deterministico. A proposito, anche io non sono molto entusiasta del suo risultato. Se avesse mostrato questo per le dimensioni (non solo per la profondità = tempo), avremmo già . Tuttavia, questo è uno dei risultati.

1

$1$

N P \subseteq P / p o l y

$NP\subseteq P/poly$

— Stasys,

@Kaveh: Ma NP stesso è un grande OR di P. La "versione temporale" di P vs. NP è: possiamo sostituire questo grande OR con un albero decisionale algebrico deterministico di profondità polinomiale (con P sulle foglie)? Ricordiamo che la profondità banale per Subset-Sum è 2 ^ n (non n). Dopkin e Lipton (1978) mostrarono che la profondità n ^ 2/2 è necessaria, e si credeva ampiamente che questo potesse essere migliorato in n ^ k per qualsiasi k. Mayer auf der Heide ha confutato questa convinzione: k = 5 è sufficiente. Pertanto, la non uniformità PU help aiutare, se siamo interessati alla profondità (tempo).

— Stasys,