Approccio di "discretizzazione della determinazione di Borel" di Gowers

Gowers ha recentemente delineato un problema, che chiama "determinazione discreta di Borel", la cui soluzione è legata alla dimostrazione dei limiti inferiori del circuito.

1. Potete fornire un riepilogo dell'approccio su misura per un pubblico di teorici della complessità?

2. Cosa ci vorrebbe per questo approccio per provare qualcosa , inclusa la riproposizione di limiti inferiori noti?

Consentitemi di fornire un riepilogo della mia comprensione della motivazione dell'approccio. Tieni presente che sono abbastanza nuovo nel concetto di determinazione di Borel e non sono affatto un esperto di teoria degli insiemi. Tutti gli errori sono miei. Inoltre, non sono sicuro che leggere questo sia molto meglio che leggere i post di Gowers.

Penso che ciò che Gowers abbia in mente non sia un analogo finanziario del teorema di determinatezza di Borel, ma un analogo finanziario di quanto segue: La determinazione di Borel segue da ZFC, mentre la determinazione di giochi analitici richiede l'esistenza di cardinali (essenzialmente) misurabili. Descriverò brevemente di quali giochi stiamo parlando e quale sia la determinazione di Borel, e poi lo collegherò con l'approccio per dimostrare limiti inferiori. L'idea di altissimo livello è quella di considerare la proprietà "permette a un analogo finanziario di una prova della determinazione di Borel di funzionare" come una proprietà che può separare P \ poly da NP.

Pensiamo a giochi in cui due giocatori I e II, a turno, "giocano" un numero intero. Il gioco continua all'infinito, quindi producono una sequenza . Il gioco è definito da un set vincente A ⊆ N N (ovvero un set di sequenze). Se x ∈ A vince il giocatore I, altrimenti vince il giocatore II.$x= x_1, x_2, \ldots$$A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$

Una partita è determinata se il giocatore I o il giocatore II hanno una strategia vincente: un modo per decidere una mossa successiva in base al gioco finora che garantisce una vittoria. Se tutti i giochi sono determinati risulta avere connessioni intime con le basi della teoria degli insiemi (non lo sono, se credi nell'assioma della scelta). In ogni caso, un semplice esempio in cui i giochi sono effettivamente determinati è quando è aperto nella topologia del prodotto su N N , il che è un modo elegante per dire che l'appartenenza x ∈ A può essere decisa basandosi solo su un numero finito di elementi di $A$$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$$x$. Ad esempio, il gioco in cui vince un giocatore se è la prima a giocare un numero pari è aperto. Un altro semplice esempio di giochi determinati sono i giochi chiusi, ovvero i giochi in cui può essere deciso sulla base di una sottosequenza finita di x . I giochi chiusi sono giochi aperti con i ruoli dei giocatori invertiti.$x \not \in A$$x$

Ora possiamo arrivare alla determinazione di Borel, e subito dopo proverò a legare questo con circuiti e complessità. Un set di Borel è un set che può essere derivato da set aperti e chiusi applicando ripetutamente un numero numerabile di unioni e intersezioni. Dovresti considerare gli insiemi aperti e chiusi come insiemi di base e gli insiemi di Borel come derivati ​​da insiemi di base che utilizzano diversi livelli di un numero "piccolo" (= numerabile) di operazioni semplici in ciascun livello. Si scopre che è possibile dimostrare in ZFC che i set di Borel sono determinati e che c'è un senso preciso in cui questo è il meglio che puoi fare.

L'analogia che penso che Gowers stia disegnando qui è che i set di Borel sono come piccoli circuiti. Nel mondo finito, sostituiamo l '"universo" con l'ipercubo { 0 , 1 } n . I nostri set di base diventano sfaccettature del cubo: { x ∈ { 0 , 1 } n : x i = b } per b ∈ { 0 , 1 } ; questi sono equivalenti ai letterali x i e ˉ x$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$\{0,1\}^n$$\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$$b \in \{0,1\}$$x_i$$\bar{x}_i$. È possibile scrivere AND e OR di letterali come unioni e intersezioni di tali insiemi. Quindi, per una funzione booleana , essere in grado di produrre f - 1 ( 1 ) da unioni di s e intersezioni di insiemi di base equivale ad avere un circuito di dimensione s per f .$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$$f^{-1}(1)$$s$$s$$f$

Consentitemi di dare una parola sugli insiemi analitici. Un set analitico è una proiezione di un set di Borel: se è un set di Borel, allora T = { x : ∃ y ( x , y ) ∈ S } è analitico. Dalla nostra corrispondenza tra insiemi di Borel e funzioni di piccola complessità del circuito, gli insiemi analitici sono come NP / poli.$S \subseteq X \times Y$$T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

Ora trae ispirazione da una prova della determinazione di Borel a inventare una proprietà (nel senso di Razborov-Rudich) per distinguere le funzioni della piccola complessità del circuito dalle funzioni della grande complessità del circuito. La speranza ovviamente è che la proprietà eviti la barriera delle prove naturali.

La dimostrazione di Martin sulla determinazione di Borel utilizza un approccio concettualmente molto accurato: Martin mostra che ogni gioco Borel è l'immagine di un gioco aperto (in effetti chiuso) sotto una mappa , in modo che $\pi$$\pi$preserva le strategie vincenti - chiamiamolo "ascensore". Quindi quello che Martin mostra è che ogni gioco Borel è l'immagine di un gioco in cui il set vincente è un set base. Dal momento che i giochi aperti possono essere facilmente determinati, ciò dimostra la determinazione di Borel. La prova è induttiva, con il caso base che mostra che i giochi chiusi possono essere sollevati. La parte importante è che ogni fase dell'induzione "fa esplodere" l'universo: sbarazzarsi di un livello della costruzione del set di Borel richiede il sollevamento di un gioco in un gioco su un universo che è essenzialmente il set di potere dell'universo del gioco originale . È interessante notare che questo è inevitabile: i set di Borel che richiedono più livelli per essere definiti possono essere portati ai giochi solo su universi molto più grandi. Gli insiemi analitici richiedono universi così grandi che la loro esistenza richiede grandi assiomi cardinali.

$x$$f(x) = 1$$f$$f$$f$$f$

$y \in U$$U$$2^n$$y$

$f$