Funzioni booleane in cui la sensibilità è uguale alla sensibilità del blocco

Alcuni dei lavori sulla sensibilità rispetto alla sensibilità al blocco sono stati finalizzati all'esame di funzioni con uno spazio quanto più ampio possibile tra $s(f)$ e $bs(f)$ al fine di risolvere la congettura che $bs(f)$ è solo polinomialmente più grande di $s(f)$ . E la direzione opposta? Cosa si sa sulle funzioni in cui $s(f) = bs(f)$ ?

In sostanza, le funzioni costanti hanno $0=s(f)=bs(f)$ . Inoltre banalmente, qualsiasi funzione con $s(f) = n$ ha anche $s(f) = bs(f)$ . Non è banale ma non troppo difficile dimostrare che qualsiasi funzione monotona soddisfa anche questa uguaglianza. Ci sono altre belle classi di funzioni che hanno $s(f) = bs(f)$? Una caratterizzazione completa sarebbe l'ideale. Che cosa succede se rafforziamo ulteriormente i requisiti a $s^0(f) = bs^0(f)$ e $s^1(f) = bs^1(f)$ ?

La motivazione di questa domanda è semplicemente quella di ottenere qualche intuizione su come la sensibilità si collega al blocco della sensibilità.

definizioni

Sia $f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$ sia una funzione booleana su parole $n$ -bit. Per $x \in \{0,1\}^n$ e $A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$ , diciamo $x^A$ denotano il $n$ parola bit ottenuta da $x$ ruotando i bit indicati da $A$ . Nel caso in cui $A = \{i\}$ , lo indicheremo semplicemente come$x^i$ .

Definiamo la sensibilità di $f$ at $x$ come $s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$ . In altre parole, è il numero di bit in $x$ che possiamo capovolgere per capovolgere l'output di $f$ . Definiamo la sensibilità di $f$ come $s(f) = \text{max}_x s(f,x)$.

Definiamo la sensibilità di blocco di $f$ in $x$ (indicata con $bs(f,x)$ ) come il massimo $k$ tale che vi siano sottoinsiemi disgiunti $B_1, B_2, \ldots, B_k$ di $\{1,2,\ldots, n\}$ tale che $f(x^{B_i}) \neq f(x)$ . Definiamo la sensibilità di blocco di$f$ come$bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$ .

Infine, definiamo la sensibilità 0 di $f$ come $s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$ . Abbiamo analogamente definiamo 1-sensibilità , sensibilità 0-block , e sensibilità 1-blocco , indicato $s^1(f)$ , $bs^0(f)$ , e $bs^1(f)$ , rispettivamente.

Recently, I proved that s(f) = bs(f) for unate functions and read-once functions over the Boolean operators AND, OR and EXOR, and my paper including the results was accepted to TCS 2014. (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44602-7_9)

You may be attacking this problem. If so, I feel sorry, but I started to attack the problem independently before the question was posted. A preliminary version of my paper was presented at a Japanese domestic meeting in Dec/2013 and the submission deadline was Oct/2013. (http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/)