Funzioni booleane in cui la sensibilità è uguale alla sensibilità del blocco


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Alcuni dei lavori sulla sensibilità rispetto alla sensibilità al blocco sono stati finalizzati all'esame di funzioni con uno spazio quanto più ampio possibile tra s(f) e bs(f) al fine di risolvere la congettura che bs(f) è solo polinomialmente più grande di s(f) . E la direzione opposta? Cosa si sa sulle funzioni in cui s(f)=bs(f) ?

In sostanza, le funzioni costanti hanno 0=s(f)=bs(f) . Inoltre banalmente, qualsiasi funzione con s(f)=n ha anche s(f)=bs(f) . Non è banale ma non troppo difficile dimostrare che qualsiasi funzione monotona soddisfa anche questa uguaglianza. Ci sono altre belle classi di funzioni che hanno s(f)=bs(f)? Una caratterizzazione completa sarebbe l'ideale. Che cosa succede se rafforziamo ulteriormente i requisiti a s0(f)=bs0(f) e s1(f)=bs1(f) ?

La motivazione di questa domanda è semplicemente quella di ottenere qualche intuizione su come la sensibilità si collega al blocco della sensibilità.

definizioni

Sia f:{0,1}n{0,1} sia una funzione booleana su parole n -bit. Per x{0,1}n e A{0,1,,n} , diciamo xA denotano il n parola bit ottenuta da x ruotando i bit indicati da A . Nel caso in cui A={i} , lo indicheremo semplicemente comexi .

Definiamo la sensibilità di f at x come s(f,x)=#{i|f(xi)f(x)} . In altre parole, è il numero di bit in x che possiamo capovolgere per capovolgere l'output di f . Definiamo la sensibilità di f come s(f)=maxxs(f,x).

Definiamo la sensibilità di blocco di f in x (indicata con bs(f,x) ) come il massimo k tale che vi siano sottoinsiemi disgiunti B1,B2,,Bk di {1,2,,n} tale che f(xBi)f(x) . Definiamo la sensibilità di blocco dif comebs(f)=maxxbs(f,x) .

Infine, definiamo la sensibilità 0 di f come s0(f)=max{s(f,x)|f(x)=0} . Abbiamo analogamente definiamo 1-sensibilità , sensibilità 0-block , e sensibilità 1-blocco , indicato s1(f) , bs0(f) , e bs1(f) , rispettivamente.

Risposte:


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Recently, I proved that s(f) = bs(f) for unate functions and read-once functions over the Boolean operators AND, OR and EXOR, and my paper including the results was accepted to TCS 2014. (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44602-7_9)

You may be attacking this problem. If so, I feel sorry, but I started to attack the problem independently before the question was posted. A preliminary version of my paper was presented at a Japanese domestic meeting in Dec/2013 and the submission deadline was Oct/2013. (http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/)


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Bel risultato. Non vedo l'ora di leggerlo.
mum
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