Conseguenze di un algoritmo di tempo quasi polinomiale per il problema dell'isomorfismo grafico

Il problema del grafico isomorfismo (IG) è probabilmente il candidato più noto per un problema NP-intermedio . L'algoritmo più noto è l'algoritmo sub-esponenziale con runtime $2^{O(\sqrt{n \log n})}$. È noto che GI non è$\mathsf{NP}$completo a meno che lagerarchia polinomiale noncollassi.

Quali sarebbero le conseguenze teoriche della complessità di un algoritmo temporale quasi polinomiale per il problema dell'isomorfismo dei grafi?
Un algoritmo di tempo quasi polinomiale per IG confuterebbe qualche congettura famosa nella teoria della complessità?

Altri problemi simili come il problema del minimo dominante nei tornei, il problema dell'isomorfismo di gruppo e il problema dell'isomorfismo del torneo hanno algoritmi di tempo quasi polinomiale ( QP ). Gli ultimi due problemi sono il tempo polinomiale riducibile a GI.

Possiamo ridurre efficacemente il problema del set minimo dominante nei tornei a IG?
C'è qualche congettura che esclude che GI sia difficile per il QP?

Aggiornamento (14-12-2015) : Babai ha pubblicato una bozza preliminare su arXiv per il suo algoritmo del tempo quasipolinomiale per GI.

Aggiornamento (2017-01-04) : Babai ha ritirato l'affermazione secondo cui l'algoritmo è in tempo quasipolinomiale, secondo la nuova analisi l'algoritmo si trova in un tempo subexponential $\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))$che si trova all'interno di$2^{n^{o(1)}}$ .

Aggiornamento (2017-01-09) : Babai ha ripristinato la richiesta di tempo quasipolinomiale, sostituendo la procedura offensiva con una più efficiente.

Per quanto posso dire, se chiedi semplicemente sulle conseguenze del semplice fatto (come una scatola nera) che GI è in QP, penso che la risposta sia molto piccola. L'unica cosa che mi viene in mente, che non è un teorema ma una conseguenza per le direzioni della ricerca, è l' isomorfismo di gruppo . Poiché GroupIso si riduce a GI e non sappiamo nemmeno se GroupIso è in P, inserire GroupIso in P può essere visto come un ostacolo importante nel mettere GI in P (se si pensa che potrebbe essere il caso di quest'ultimo).

Tuttavia, poiché l'algoritmo banale per GroupIso è , quando la complessità di IG era aumentata a 2 ˜ O ( $n^{\log n + O(1)}$, avevamo ancora molta strada da fare per migliorare la complessità dell'IG prima che GroupIso diventasse unostacoloimmediatamente rilevanteper inserire l'IG in P. Ma se l'IG è in QP, allora GroupIso diventa un ostacolo molto più rilevante per ulteriori miglioramenti nell'IG. (Naturalmente, l'esponente dell'esponente nel quasi polinomio è ancora un divario potenzialmente rilevante, ma il divario diventamoltopiù piccolo quando GI è in QP.)$2^{\tilde O(\sqrt{n})}$

Per quanto riguarda l'ultima domanda: il teorema della gerarchia temporale implica immediatamente che il QP non ha problemi completi in termini di riduzioni polinomiali del tempo multiplo o di Turing. (D'altra parte, ogni problema salvo e Σ ∗ è QP-duro con riduzioni quasi polinomiali .) Quindi, supponendo che il risultato di Babai sia corretto, GI non è difficile da QP.$\varnothing$$\Sigma^*$

Quali sarebbero le conseguenze teoriche della complessità di un algoritmo temporale quasi polinomiale per il problema dell'isomorfismo dei grafi?

Più o meno simili alle conseguenze dell'algoritmo del tempo polinomiale deterministico per il test di primalità, l'algoritmo del tempo polinomiale deterministico per la programmazione lineare e l'altro caso in cui erano noti algoritmi praticamente efficienti (randomizzati) (con rari esempi patologici in cui l'algoritmo divenne inefficiente) e in uso da molto tempo. Conferma la congettura che l'efficienza pratica è un buon indicatore dell'esistenza di algoritmi teorici deterministici che superano i problemi dei rari esempi patologici.

Un algoritmo di tempo quasi polinomiale per IG confuterebbe qualche congettura famosa nella teoria della complessità?

No, le congetture piuttosto vanno al sito opposto, ovvero che GI è in P. Poiché GI è in NP, non sarà possibile confutare questo tipo di congetture in qualunque momento presto.

Possiamo ridurre efficacemente il problema del set minimo dominante nei tornei a IG?

Il set minimo dominante non è un problema di isomorfismo, quindi non vi è alcun motivo per cui ci si dovrebbe aspettare che sia riducibile a IG.

C'è qualche congettura che esclude che GI sia difficile per il QP?

Non sappiamo nemmeno come ridurre il problema dell'isomorfismo delle stringhe all'IG, e questo è almeno un problema di isomorfismo. Le prove di Babai hanno mostrato che l'isomorfismo delle stringhe era in QP, quindi ... E cosa dovrebbe essere difficile dire per QP? Difficile riduzione del tempo polinomiale?

Dall'introduzione di On the Group and Color Isomorphism Problems di François Le Gall e David J. Rosenbaum

La complessità dei problemi di test dell'isomorfismo è degna di studio sia perché sono questioni computazionali fondamentali sia perché molti di loro non sono noti in P, ma sembrano comunque più facili dei problemi NP-completi. Il più studiato di questi è il problema dell'isomorfismo grafico.

$\mathsf{GI}^*$$\mathsf{GrI}^*$sono definiti (nel documento sopra, ma gli autori giustamente si chiedono perché nessuno lo abbia mai fatto prima), che aggiungono i pezzi mancanti dal problema dell'isomorfismo delle stringhe. (E il problema dell'isomorfismo del colore è solo un nome diverso per il problema dell'isomorfismo delle stringhe. Il problema dell'automorfismo del colore del nome risale ai documenti iniziali di Babai e Luks, l'isomorfismo della stringa di nome si verifica più avanti nel loro articolo sull'etichettatura canonica.)

$\mathsf{GI}^*$

Modifica: questa risposta è stata data nel contesto della ritrattazione del risultato di Babai, prima che annunciasse una correzione. Suggerisce che la leggera generalizzazione del problema dell'isomorfismo grafico suggerito dal problema dell'isomorfismo delle stringhe sia il problema davvero importante. L'aspettativa implicita qui è che qualsiasi algoritmo ragionevole per il problema dell'isomorfismo del grafico porterà a un algoritmo simile per il problema dell'isomorfismo del grafico generalizzato. Il problema generalizzato è il tempo polinomiale equivalente al problema dello stabilizzatore di set , il problema di intersezione di gruppo , il problema di intersezione del coset, il problema di trasportatore di set , ... L'idea alla base di questa aspettativa è che il problema generalizzato si verificherà nella parte ricorsivadi qualsiasi algoritmo ragionevole, quindi deve essere indirizzato comunque. (Ed è del tutto possibile che il problema generalizzato sia il tempo polinomiale equivalente all'isomorfismo grafico.)

Ora i commenti di Joshua Grochow indicano che non sono riuscito a spiegare l'importanza concettuale dei pezzi mancanti dal problema dell'isomorfismo delle stringhe. Per le strutture infinite, può essere più facile comprendere che un valido isomorfismo non dovrebbe solo preservare la struttura data, ma anche appartenere a una categoria appropriata di funzioni (ad esempio la categoria di funzioni continue). Per le strutture finite, il fenomeno analogo si verifica principalmente per le strutture quozienti, in cui la categoria appropriata di funzioni dovrebbe essere compatibile con i quozienti indicati. Il materiale Johnson è un tipico esempio di tali quozienti, ad esempio la logica di partizione sta lavorando sui due sottoinsiemi di elementi di un set di base. Inoltre, la limitazione della categoria consentita per gli isomorfismi rende spesso più facile il problema del test dell'isomorfismo,

Il problema con le generalizzazioni del problema dell'isomorfismo del grafico è dove fermarsi. Perché non generalizzare fino a comprendere il problema dell'isomorfismo del gruppo di permutazione? Questa domanda è davvero difficile, poiché molti risultati non banali per l'isomorfismo dei grafi probabilmente riporteranno anche l'isomorfismo del gruppo di permutazione. Ma qui sembra più ragionevole trattare la teoria dei gruppi di permutazione computazionale come un soggetto a sé stante, anche se ha davvero una stretta connessione con il problema dell'isomorfismo grafico.