"Seconda X è NP-completa" implica "X è NP-completa"?

Il problema "Seconda " è il problema di decidere l'esistenza di un'altra soluzione diversa da quella fornita per l'istanza del problema. $X$

Per alcuni problemi Completa, la seconda versione soluzione è Completa (decidere l'esistenza di un'altra soluzione per il parziale latino problema completamento quadrato) mentre per altri è o banale (Seconda NAE SAT) oppure non può essere -completo (secondo ciclo hamiltoniano in grafici cubici) sotto congetture di complessità ampiamente credute. Sono interessato nella direzione opposta. $NP$ $NP$ $NP$

Assumiamo naturale problema dove c'è naturale verificatore efficiente che verifica una naturale interessante rapporto dove è un'istanza di ingresso e è una breve testimonianza di adesione in . Tutti i testimoni sono indistinguibili dal verificatore. La validità dei testimoni deve essere decisa eseguendo il verificatore naturale e non ha alcuna conoscenza di alcun testimone corretto (entrambi gli esempi nei commenti sono soluzioni per definizione). $NP$ $X$ $(x, c)$ $x$ $c$ $x$ $X$

"Second is NP-complete" implica " is NP-complete" per tutti i problemi "naturali" ? $X$ $X$ $X$

In altre parole, c'è qualche problema "naturale" cui questa implicazione fallisce? $X$ . O equivalentemente,

Esiste qualche problema "naturale" in e non noto come completo ma il suo secondo problema è completo? $X$ $NP$ $NP$ $X$ $NP$

EDIT : Grazie ai commenti di Marzio, non mi interessano gli esempi contrari inventati. Sono interessato solo a contro-esempi naturali e interessanti per problemi NP-completi simili a quelli sopra. Una risposta accettabile o è una prova dell'implicazione sopra o un contro-esempio "problema Second X", che è definito per naturale, interessante, e ben noto problema . $X$ $NP$ $X$

EDIT 2 : Grazie alla proficua discussione con David Richerby, ho curato la domanda di enfasi che il mio interesse è solo in problemi di natura . $X$

EDIT 3 : Motivazione: In primo luogo, l'esistenza di tale implicazione può semplificare il -completeness prove di molti problemi. In secondo luogo, l'esistenza del implicazione collega la complessità di decidere l'unicità della soluzione del problema di decidere dell'esistenza di una soluzione per problemi. $NP$ $NP$ $NP$

cc.complexity-theory unique-solution

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

I commenti non sono per una discussione estesa; questa conversazione è stata spostata in chat .

— Bjørn Kjos-Hanssen

Il tuo EDIT 3 e EDIT 1 non sembrano allineati. Se vuoi che questo sia un risultato generale, utile per semplificare le prove di completezza NP, non puoi anche dire che vuoi solo contro-esempi "non inventati". Inoltre, sarebbe utile avere una definizione di "naturale / interessante", che non era basata sull'opinione personale.

— Chris Jefferson,

Risposte:

No,

Considera il problema "Trova un sottoinsieme di un set di numeri interi S che somma a 0".

Questo problema è banale, in quanto si può restituire il set vuoto.

Tuttavia, trovare una seconda soluzione dopo aver restituito l'insieme vuoto è il noto problema della somma dei sottoinsiemi, noto per essere NP-completo.

— Chris Jefferson
fonte

A meno che non sia possibile definire un problema "innaturale", questo non ha importanza. Le persone definiscono centinaia di varianti di problemi come la somma dei sottoinsiemi e SAT.

— Chris Jefferson,

@Mohammad: ecco un altro contro-esempio; Lascio a te decidere se è naturale o meno: un gioco bimatrix ha sempre almeno un equilibrio di Nash ed è NP-difficile decidere se un gioco bimatrix ha più di un equilibrio di Nash [Gilboa e Zemel, GEB 1989] . La costruzione prende una formula SAT f e produce un gioco con un certo equilibrio di Nash di forma nota che esiste sempre, in modo tale che il gioco abbia un secondo equilibrio se la formula f è soddisfacente.

— Rahul Savani,

f : {0, 1, 2, \dots, 2^{n} - 1} \to {0, 1}

$f : \{0,1,2,\ldots,2^n-1\} \to \{0,1\}$

f (0) = 0

$f(0) = 0$

f (2^{n} - 1) = 1

$f(2^n-1)=1$

k

$k$

f (k) = 0

$f(k) = 0$

f (k + 1) = 1

$f(k+1) = 1$

NP completo non significa che tutte le istanze siano difficili, solo alcune lo sono. Esistono molte banali istanze di somma di sottoinsieme (tutti i problemi che contengono 1 e - 1 per esempio) e molti semplici problemi SAT (2 SAT per esempio), ma SAT nel suo insieme è ancora NP-completo.

— Chris Jefferson,

La risposta deve essere un sottoinsieme dell'insieme di numeri interi S. {} è un sottoinsieme di S poiché l'insieme vuoto è un sottoinsieme di tutti gli insiemi. {ϕ} non è un sottoinsieme di S, poiché S non contiene ϕ

— Chris Jefferson,

$ASP$ $NP$

$NP$

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

Il tuo problema era se la completezza NP della seconda soluzione implica completezza NP. Ciò che mostrano è più debole, richiedono completezza ASP, poiché la completezza NP non è sufficiente, come sottolineato nei commenti alla tua domanda.

— domotorp,

Se qualcuno lo legge, questa risposta è sbagliata. È facile generare un problema in cui la seconda X è NP-completa, ma X non è NP-completa. Ad esempio (come discusso nei commenti sopra), il problema di trovare un sottoinsieme di un insieme di numeri interi che somma a 0 è il secondo X NP completo, perché è NP completo una volta rifiutata la prima soluzione semplice dell'insieme vuoto .

— Chris Jefferson,

Π

$\Pi$

Π_{[2]}

$\Pi_{[2]}$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Π_{[2]}

$\Pi_{[2]}$

Π_{[2]}

$\Pi_{[2]}$

Π

$\Pi$

— Sasho Nikolov,

È un po 'strano per qualcuno porre una domanda, rispondere e poi accettarla mentre la discussione è in corso.

— Chandra Chekuri,

@ MohammadAl-Turkistany Il mio commento diceva che la tua risposta sembra aver ottenuto la logica al contrario e non risponde alla tua domanda. Non ho detto nulla sull'esempio di Chris (che per me sembra a posto, ma non voglio entrare in tale argomento nei commenti).

— Sasho Nikolov,