Classi di grafici in cui i problemi del ciclo hamiltoniano e del percorso hamiltoniano presentano complessità diverse

Durante la ricerca del sistema informativo sulle classi dei grafici e le loro inclusioni , ho trovato diverse classi di grafici per i quali il problema del ciclo Hamiltoniano è NP-completo, mentre la complessità dei problemi del sentiero Hamiltoniano NON è nota. Alcune di queste classi sono grafici bipartiti di grado massimo 3, grafici di griglia di massimo grado 3 e grafici planari cubici a 2 connessioni. Anche questo fenomeno si applica ai grafici a cerchio e ai grafici a griglia triangolare.

Esiste un aggiornamento alla complessità del problema del percorso hamiltoniano su quelle classi? C'è una spiegazione per questo fenomeno?

EDIT : ho trovato nel database delle classi di grafi uno strano caso di grafici a griglia solida in cui il problema del ciclo hamiltoniano è in mentre il problema del percorso hamiltoniano è di complessità sconosciuta . $P$

cc.complexity-theory graph-theory

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

Mi chiedo se esiste un'interessante classe di grafici per cui HP è in ma HC è completo.

P

$P$

N P

$NP$

— Mohammad Al-Turkistany,

In generale, esiste una classe di grafici per cui uno dei problemi (HC e HP) è completo e l'altro è in o in ? Sto cercando risultati pubblicati per problemi di HC e HP.

N P

$NP$

P

$P$

N P I

$NPI$

— Mohammad Al-Turkistany,

Per quello che vale (non molto), Hamiltonian Path e Hamiltonian Cycle hanno una complessità diversa sugli alberi: il ciclo è banale ma il percorso richiede una scansione lineare per vedere se c'è un vertice di grado superiore a due.

— David Richerby,

È improbabile che HP sia in e HC sia completo per qualsiasi classe di grafi poiché esiste una riduzione di Cook da HC a HP che fa quasi tutte le chiamate all'oracolo di HP. La vera domanda è se esiste una riduzione di Karp ( ).

P

$P$

N P

$NP$

O (| E |)

$O(|E|)$

H C <_{P}^{m} H P

$HC<_P^m HP$

— Mohammad Al-Turkistany,

Risposte:

Il problema del percorso hamiltoniano sui grafici a griglia con massimo grado 3 è NP-completo. La prova è in CH Papadimitriou e UV Vazirani, Su due problemi geometrici legati al problema del venditore ambulante, Journal of Algorithms, Volume 5, Numero 2, Giugno 1984, Pagine 231–246 (Teorema 2)

— Marzio De Biasi
fonte

Grazie Marzio, stanno usando la stessa definizione usata nel database per i grafici a griglia? (dal momento che sono diverse definizioni nella letteratura)

— Mohammad Al-Turkistany,

Un grafico a griglia è un sottografo finito indotto dal nodo di

, il grafico infinito il cui insieme di vertici è costituito da tutti i punti del piano con coordinate intere e in cui due vertici sono collegati se e solo se la distanza euclidea tra loro è 1; quindi un grafico a griglia può avere "buchi" e il teorema è dimostrato per (limitato a) grafici a griglia in cui i vertici hanno il massimo grado 3.

G^{\infty}

$G^\infty$

— Marzio De Biasi

Grazie Marzio, quindi, per questa classe, HC e HP hanno la stessa complessità.

— Mohammad Al-Turkistany,

@ MohammadAl-Turkistany: un'altra nota: i grafici a griglia (e i grafici a griglia con massimo grado 3) sono anche bipartiti, quindi HP dovrebbe essere NP-completo anche per i grafici bipartiti con massimo grado 3.

— Marzio De Biasi,

È stato aggiornato il sistema informativo sulle classi dei grafici e le loro inclusioni. Ora, il problema del ciclo hamiltoniano e il problema del percorso hamiltoniano sono dichiarati NP completi su grafici planari cubici a 2 connessioni.

Tuttavia, le complessità computazionali dei problemi di HC e HP sono elencate sconosciute per un problema e NP-complete per l'altro su grafici a cerchio , grafici a griglia triangolare e grafici a griglia solida .

— Mohammad Al-Turkistany
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Dici "... le complessità dei problemi di HC e HP sono ancora diverse ..."; forse è meglio dire che "per queste classi di grafici HC è NPC, ma HP ha ancora complessità sconosciuta"

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi Grazie per il tuo prezioso commento. Ho modificato per riflettere il tuo suggerimento.

— Mohammad Al-Turkistany,

Mi manca qualcosa? HC è tempo polinomiale risolvibile in grafici a griglia solida. ieeexplore.ieee.org/document/646138

— Saeed