Algoritmo Max-Cut che non dovrebbe funzionare, non è chiaro il perché

OK, questa potrebbe sembrare una domanda a casa e, in un certo senso, lo è. Come compito a casa in una classe di algoritmi universitari, ho dato il seguente classico:

Dato un grafico non orientato , indica un algoritmo che trova un taglio tale che , dove è il numero di spigoli che attraversano il taglio. La complessità temporale deve essere .$G=(V,E)$$(S,\bar{S})$$\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2$$\delta(S,\bar{S})$$O(V+E)$

Per qualche motivo, ho ottenuto molte delle seguenti soluzioni. Ora, impiega troppo tempo, quindi non è una questione di valutazione, ma mi sono incuriosito. Non "sembra" corretto, ma tutti i miei tentativi di controesempi sono falliti. Ecco qui:

1. Impostare$S\leftarrow \emptyset$
2. Sia un vertice di grado massimo nel grafico$v$
3. Aggiungi a$v$$S$
4. Elimina tutti i bordi adiacenti a$v$
5. Se torna a 2$\delta(S,\bar{S}) < |E|/2$

Si noti che al punto 5 si riferisce al grafico originale. Si noti inoltre che se avessimo saltato il passaggio 4, ciò sarebbe ovviamente errato (ad esempio l'unione di un triangolo con due bordi isolati).$E$

Ora, qualsiasi semplice prova presenta il seguente problema: potrebbe essere che quando aggiungiamo un nuovo vertice realtà rimuoviamospigoli dal taglio mentre si aggiungono nuovi spigoli (dove riferisce al grafico con i bordi eliminati). Il fatto è, che se questo è dannoso per la nostra causa, significa che questo vertice "utilizzato per" avere un grado sempre più elevato, in modo che "avrebbe dovuto essere" selezionati in precedenza.| S | d ( v ) d ( v ) $v$$|S|$$d(v)$$d(v)$$v$

È un algoritmo ben noto? C'è qualche semplice controesempio per questo?

^{La mia precedente affermazione di non ha tenuto conto del taglio della dimensione già presente nel grafico. La seguente costruzione sembra risultare (empaticamente - ho creato una domanda su math.stackexchange.com per una prova rigorosa) in una frazione . n2/4O($\frac{2}{c+6}$$n^2/4$$O\left(\frac{1}{\log c}\right)$}

L'algoritmo funziona male sui sindacati di diversi grafici completi disconnessi, di dimensioni diverse. Indichiamo il grafico completo su vertici come . Considera il comportamento dell'algoritmo su : aggiunge ripetutamente un vertice arbitrario non ancora in a - tutti questi vertici sono identici e quindi l'ordine non ha importanza. Impostazione del numero di vertici non ancora aggiunti ad dall'algoritmo , la dimensione del taglio in quel momento è .K n K n S S S | ˉ S | = k k ( n - k $n$$K_n$$K_n$$S$$S$$S$$|\bar{S}| = k$$k (n-k)$

Considera cosa succede se eseguiamo l'algoritmo su diversi grafici disconnessi con costanti comprese tra 0 e 1. Se è il numero di elementi non ancora presenti in nel grafico completo, l'algoritmo aggiungerà ripetutamente un vertice su dal grafico completo con il più alto , interrompendo arbitrariamente i legami. Questo indurrà aggiunte "rotonde" di vertici a : l'algoritmo aggiunge un vertice da tutti i grafici completi con il più alto , quindi da tutti i grafici completi con (con x i k i S i S k i S k = k i k i = k - 1 k i$K_{x_i n}$$x_i$$k_i$$S$$i$$S$$k_i$$S$$k = k_i$$k_i=k-1$$k_i$aggiornato dopo il round precedente) e così via. Una volta che un grafico completo ha aggiunto un vertice a in un round, lo farà per ogni round da quel momento in poi.$S$

Sia il numero di grafici completi. Sia con sia il modificatore di dimensione per l' -esimo grafico completo. Ordiniamo questi modificatori di dimensioni da grandi a piccoli e impostiamo . Ora abbiamo che se ci sono grafici esattamente elementi non ancora aggiunti a , allora la dimensione del taglio in quel momento è . Il numero totale di bordi è .0 < x i ≤ 1 0 ≤ i ≤ c - 1 i x 0 = 1 c ′ k S ∑ c ′ - 1 i = 0 k ( x i n - k ) = k n ∑ c ′ - 1 i = 0 ( x i ) - c ′ k 2 | $c$$0 < x_i \leq 1$$0 \leq i \leq c - 1$$i$$x_0 = 1$$c'$$k$$S$$\sum_{i=0}^{c'-1} k (x_i n - k) = k n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - c' k^2$$|E| = \sum_{i=0}^{c-1} \frac{x_i n (x_i n - 1)}{2} \approx \frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} x_i^2$

Nota che è una funzione quadratica in e quindi ha un massimo. Avremo quindi diversi tagli massimi a livello locale. Ad esempio, se nostro taglio massimo è a di dimensione . Sceglieremo modo che , il che significa che il secondo grafico completo non cambierà la dimensione di questo taglio massimo localmente in . Quindi otteniamo un nuovo taglio localmente massimo a e quindi scegliamo (con k c = 1 k = $k n \sum_{i=0}^{c'-1} x_i - c' k^2$$k$$c=1$ n$k=\frac{n}{2}$ x1x1=1/2-εk=$\frac{n^2}{4}$$x_1$$x_1 = 1/2 - \varepsilon$ k=3/8n-ε'x2=3/8n-ε"ε,ε',ε"εx1=1/2x1n=$k=\frac{n}{2}$$k=3/8 n - \varepsilon'$$x_2 = 3/8 n - \varepsilon''$$\varepsilon, \varepsilon', \varepsilon''$piccole costanti). Per il momento ignoreremo i s e supponiamo che possiamo scegliere - dovremmo assicurarci , ma ciò non influirà sui risultati finali se è abbastanza grande.$\varepsilon$$x_1 = 1/2$$x_1 n = \frac{n}{2} - 1$$n$

Desideriamo trovare i massimi locali dei nostri tagli. Differenziamo in , producendo . Equivale a dà , che dà un taglio di dimensione . k n ∑ c ′ - 1 i = 0 ( x i ) - 2 c ′ k 0 k = $k n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - c' k^2$$k$$n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - 2 c' k$$0$n$k = \frac{n}{2c'} \sum_{i=0}^{c'-1} x_i$$\frac{n^2}{4c'} \left(\sum_{i=0}^{c'-1} x_i\right)^2$

Sia la determinata nel paragrafo precedente se . Faremo in modo che la formula valga chiedendo che - tutti grafici completi con siano quindi più piccoli della di questo taglio localmente massimo e quindi non aumentino le dimensioni del taglio. Questo significa che abbiamo questi tagli in questi che sono più grandi di tutti gli altri tagli trovati dall'algoritmo. k c ′ = i x i n < k i i ′ i ′ > i k i c k $k_i$$k$$c'=i$$x_i n < k_i$$i'$$i'>i$$k_i$$c$$k_i$

Compilando , otteniamo la ricorrenza (più alcuni piccoli ) con . Risolvendo questo risultato : vedi la mia domanda su math.stackexchange.com per la derivazione di @Daniel Fisher. Inserendolo in e usando la nostra intuizione sulla ricorrenza ci dà tagli di dimensioni . Usando le proprietà di questo coefficiente binomiale centrale , abbiamox i = $x_i n < k_i$εx0=1xi= ( 2 $x_i = \frac{1}{2c'} \sum_{i=0}^{c'-1} x_i$$\varepsilon$$x_0 = 1$$x_i = \frac{\binom{2i}{i}}{4^i}$n$\frac{n^2}{4c'} \left(\sum_{i=0}^{c'-1} x_i\right)^2$limc′→∞c′( ( 2 c $\frac{n^2}{4c'} \left(2c' \frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2 = n^2 c' \left(\frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2$$\lim_{c' \to \infty} c' \left(\frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2 = \frac{1}{\pi}$ (vedi anche la mia domanda su math.stackexchange.com ).

Il numero di bordi è approssimativamente . Con proprietà note abbiamo . La compilazione dà almeno che è asintoticamente come va a infinito.$\frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} x_i^2 = \frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} \left(\frac{\binom{2i}{i}}{4^i}\right)^2$ n$\frac{1}{\sqrt{4i}} \leq \frac{\binom{2i}{i}}{4^i}$ n$\frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} \left(\frac{1}{\sqrt{4i}}\right)^2 = \frac{n^2}{8} \sum_{i=0}^{c-1} \frac{1}{i}$$\frac{n^2}{8} \log c$$c$

Pertanto abbiamo è asintoticamente uguale a mentre va all'infinito, dimostrando che l'algoritmo può tagli di ritorno che sono frazioni arbitrariamente basse di.$\frac{\delta(S, \bar{S})}{|E|}$ c| E$\frac{8}{\pi \log c}$$c$$|E|$

Dopo un po 'di pensieri e domande, ecco un contro-esempio, per gentile concessione di Ami Paz :

Sia pari e sia un grafico che è l'unione di con una corrispondenza di vertici (ovvero una corrispondenza con bordi).G K n n + 2 n / 2 + $n$$G$$K_n$$n+2$$n/2+1$

Come funziona l'algoritmo su questo grafico? Prende solo i vertici dalla parte della cricca in ordine arbitrario. Dopo aver preso vertici dalla cricca, il taglio è della dimensione . Questo è massimo per , che fornisce un taglio di dimensione , mentre il numero di spigoli nel grafico è .$k$k = n / 2 n $k\cdot (n-k)$$k=n/2$ n$\frac{n^2}{4}$$\frac{n^2}{2}+1$

L'algoritmo come prescritto continuerà ad aggiungere vertici dalla cricca, riducendo il numero di spigoli che attraversano il taglio, fino a quando ciò che rimane della cricca è solo un singolo spigolo. A questo punto non può ottenere niente di meglio di .$\frac{n}{2}+2$