Conteggio del numero di percorsi semplici nel grafico non indirizzato

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Come posso determinare il numero di percorsi semplici unici all'interno di un grafico non indirizzato? O per una certa lunghezza o un intervallo di lunghezze accettabili.

Ricorda che un percorso semplice è un percorso senza cicli, quindi sto parlando del conteggio del numero di percorsi senza ciclo.

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— Ryan
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Questo è già stato chiesto su mathoverflow: mathoverflow.net/questions/18603/…

— Elenco

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In realtà, la domanda su mathoverflow era di trovare tutti i percorsi e non contarli. Trovarli può essere molto più difficile.

— DCTLib

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Oltre ai riferimenti forniti nelle risposte, un'osservazione banale è che se si può contare il numero di percorsi di lunghezza

si può rispondere alla domanda di esistenza di un percorso hamiltoniano. Quindi molto probabilmente non è P.

n - 1

$n-1$

— Saeed il

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Esistono diversi algoritmi che contano i semplici percorsi di lunghezza nel tempo , che è molto meglio del tempo della forza bruta ( ). Vedi ad esempio Vassilevska e Williams, 2009 . $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— Andreas Björklund
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È # P-complete (Valiant, 1979), quindi è improbabile che tu faccia molto meglio della forza bruta, se vuoi la risposta esatta. Le approssimazioni sono discusse da Roberts e Kroese (2007).

B. Roberts e DP Kroese, " Stima del numero di percorsi - in un grafico $s$ $t$ ". Journal of Graph Algorithms and Applications , 11 (1): 195-214, 2007.

LG Valiant, " La complessità dei problemi di enumerazione e affidabilità ". SIAM Journal on Computing 8 (3): 410-421, 1979.

— David Richerby
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Il documento di Roberts e Kroese non sembra dare garanzie di approssimazione. Esiste un PTAS noto per questo problema?

— Sasho Nikolov,

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@SashoNikolov, sembra improbabile che esista un algoritmo di approssimazione ragionevole. Dato

ottenere

da

sostituendo ciascun nodo con una cricca di dimensione

dove

e

. Per ogni semplice percorso di lunghezza

in

ci sono approssimativamente

percorsi in

. Quindi se

ha un

G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

percorso hamiltoniano, ci saranno almeno

o così semplicipercorsi

in

, e altrimenti al massimo qualcosa come

semplicipercorsi

. Quindi dovrebbe essere difficile approssimare entro un fattore di circa

s - t

$s-t$

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

.

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— Neal Young,

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Vorrei aggiungere un altro algoritmo di approssimazione, uno parametrizzato: per un fisso (o più precariamente, $\delta>0$ ), si può calcolareun-approximation del numero di percorsi semplici, sia grafo non orientato o diretto, di lunghezzanel tempo. $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— RB
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