NP-Almost-2-SAT è difficile?

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Un problema CNF SAT NP è difficile quando il numero totale (ma non la larghezza) delle clausole a 3 o più termini è delimitato da una costante? Che dire specificamente quando c'è solo una di queste clausole?

np-hardness sat upper-bounds

— dspyz
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Se c'è solo una clausola di questo tipo

con più di 2 termini, risolvere tali formule è banalmente in

. Se

ha

termini, prova ognuna delle

assegnazioni parziali che soddisfano

, quindi risolvi la restante formula 2-SAT usando il metodo del tempo lineare noto. Alla fine troverai una soluzione per l'intera formula o dimostrerai che non è soddisfacente nel tempo

, dove

non può superare il numero di variabili nell'intera formula.

c

$c$

P

$P$

c

$c$

n

$n$

n

$n$

c

$c$

O (n^{2})

$O(n^2)$

n

$n$

— Kyle Jones,

@KyleJones Ma una singola clausola con

letterali ha

incarichi soddisfacenti, non solo

. Poiché

non è limitato nella domanda, questo approccio fornisce un algoritmo a tempo esponenziale.

k

$k$

2^{k} - 1

$2^k-1$

k

$k$

k

$k$

— David Richerby,

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@DavidRicherby Per soddisfare la clausola devi solo rendere vero uno dei valori letterali. Dopodiché la clausola può essere ignorata e rimane solo una formula 2-SAT.

letterali significa che devi solo provare

incarichi.

k

$k$

k

$k$

— Kyle Jones,

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Vale la pena notare che il problema diventa NP-difficile quando la restrizione è leggermente allentata.

Con un numero fisso di clausole che hanno anche dimensioni limitate, il numero medio di letterali in una clausola è il più vicino possibile a 2, considerando un'istanza con abbastanza variabili. Come fai notare, c'è quindi un semplice limite superiore che è polinomiale se la dimensione della clausola è limitata.

$2 + \epsilon$ $\epsilon > 0$

$m$ $(2+\epsilon)$ $m(1 - \epsilon)/\epsilon$ $\epsilon$

Questa riduzione mostra anche che anche la versione in cui le clausole "grandi" sono limitate a 3 letterali è NP-difficile.

Il caso rimanente si verifica quando le poche clausole di grandi dimensioni non hanno dimensioni limitate; ogni grande clausola sembra rendere il problema più difficile. Vedi il documento SODA 2010 di Pǎtraşcu e Williams per il caso di due clausole: sostengono che se ciò potesse essere fatto in tempi sub-quadratici, avremmo algoritmi migliori per SAT. Potrebbe esserci un'estensione del loro argomento a più clausole, il che fornirebbe la prova che il limite superiore non può essere migliorato (modulo in qualche forma dell'ipotesi del tempo esponenziale).

— András Salamon
fonte

solo tangenzialmente correlati, ma esiste un recente documento ECCC che formula "quasi 2-SAT" in modo diverso e dimostra una forte durezza: eccc.hpi-web.de/report/2013/159

— Nikolov,

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Ok ho capito. La risposta è no. Questo può essere risolto in poly-time. Per ogni clausola a 3 o più termini, selezionare un valore letterale e impostarlo come vero. Quindi risolvere il problema rimanente 2-sat. Se qualcuno fornisce una soluzione, questa è una soluzione al problema generale. Poiché il numero di clausole a 3 o più termini è fisso (diciamo c), allora se tutte queste clausole hanno dimensione <= m, allora questo viene eseguito in O (m ^ (c) * n). O (m ^ c) per passare attraverso ogni possibile selezione, volte O (n) per risolvere il problema 2-sat rimanente.

— dspyz
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m

$m$

È perché m è implicitamente limitato dal numero di atomi. Ovviamente, una clausola non può avere più letterali di quanti siano gli atomi nel problema. Forse avrei dovuto chiarire m <= n

— dspyz il