Generazione di grafici con automorfismi triviali

Sto rivedendo un modello crittografico. Per dimostrare la sua inadeguatezza, ho escogitato un protocollo inventivo basato sull'isomorfismo grafico.

È "banale" (eppure controverso!) Ipotizzare l'esistenza di algoritmi BPP in grado di generare "istanze difficili del problema dell'isomorfismo dei grafi". (Insieme a una testimonianza di isomorfismo.)

Nel mio protocollo elaborato, assumerò l'esistenza di tali algoritmi BPP, che soddisfano un ulteriore requisito:

• Lascia che i grafici generati siano e . C'è solo un testimone (permutazione) che mappa a G 2 .$G_1$$G_2$$G_1$$G_2$

Ciò implica che ha solo banali automorfismi . In altre parole, presumo l'esistenza di un algoritmo BPP, che funziona come segue:$G_1$

1. Sull'ingresso , generare un n grafo -vertex G 1 , tale che esso ha automorfismi solo banali.$1^n$$n$$G_1$
2. Scegli una permutazione casuale su [ n ] = { 1 , 2 , ... , n } e applicala su G 1 per ottenere G 2 .$\pi$$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$$G_1$$G_2$
3. Uscita .$\langle G_1,G_2,\pi \rangle$

Sto andando supporre che, al punto 1, può essere generato in base alle esigenze, e ⟨ G 1 , G 2 ⟩ è un duro istanza del problema grafico Isomorfismo. (Si prega di interpretare la parola "duro" naturalmente; una definizione formale è data da Abadi et al. Vedi anche l'articolo di Impaliazzo e Levin .)$G_1$$\langle G_1,G_2 \rangle$

La mia ipotesi è ragionevole? Qualcuno potrebbe indicarmi alcuni riferimenti?

Almeno il primo approccio ingenuo a cui si potrebbe pensare non funziona. L'approccio che ho in mente è semplicemente generare assolutamente casuale. Poiché quasi tutti i grafici non hanno simmetrie (ovvero la proporzione di grafici su n vertici senza automorfismi non banali si avvicina a 1 come n → ∞ ), G 1 non avrà automorfismi non banali con alta probabilità, che è ciò che vogliamo. Tuttavia, la versione del caso medio dell'isomorfismo grafico, in cui i grafici sono scelti in modo uniforme a caso, può essere risolta in tempo lineare [BK], quindi questo non genera una distribuzione di istanze difficili.$G_1$$n$$n \to \infty$$G_1$

Ma un secondo approccio ingenuo ha una possibilità di funzionare: generare un grafico regolare casuale (di grado non costante, poiché l'isomorfismo del grafico a grado costante è in P). Anche questo non ha automorfismi non banali con alta probabilità [KSV], ma il risultato Babai-Kucera non si applica (come sottolineato nel documento). Dimostrare che si tratta di un generatore invulnerabile richiede ovviamente alcune ipotesi, ma si potrebbe immaginare di provare incondizionatamente che l'isomorfismo del grafico normale nel caso medio è duro quanto l'isomorfismo del grafico nel caso peggiore, anche se non so quanto sia probabile. (Si noti che l'isomorfismo grafico nel caso peggiore equivale all'isomorfismo grafico (caso generale) nel caso peggiore.)

[BK]. Laszlo Babai, Ludik Kucera, etichettatura canonica dei grafici nel tempo medio lineare . FOCS 1979, pagg. 39-46.

[KSV] Jeong Han Kim, Benny Sudakov e Van H. Vu. Sull'asimmetria di grafici casuali regolari e grafici casuali . Random Structures & Algorithms, 21 (3-4): 216–224, 2002. Disponibile anche qui .