Co-NP-completezza del tour TSP minimo?

Questo problema è emerso dal mio recente post sul blog , supponiamo che ti sia stato dato un tour TSP, è co-NP-completo per determinare se è minimo?

Più precisamente è il seguente problema NP-completo:

Istanza: dato un grafico completo G con bordi ponderati con numeri interi positivi e un semplice ciclo C che visita tutti i nodi di G.

Domanda: Esiste un semplice ciclo D che visita tutti i nodi di G in modo tale che il peso totale di tutti i bordi di D in G sia strettamente inferiore al peso totale di tutti i bordi di C in G?

Uno schizzo di una possibile riduzione per dimostrare che è NP completo.

Informalmente parte da una formula 3SAT modificata utilizzata per mostrare che 3SAT è completo di ASP (Another Problem Solution) e "segue" la catena standard di riduzioni 3SAT => DIRECTED HAMCYCLE => UNDIRECTED HAMCYCLE => TSP

• Inizia con un 3SAT formula $\varphi$ con $n$ variabili $x_1,...x_n$ ed $m$ caluses $C_1,...,C_m$ ;
• Trasformalo in una nuova formula $\varphi'$ aggiungendo una nuova variabile $t$ ...;
• ... ed espandere ogni clausola a ( x i 1 ∨ x i 2 ∨ x i $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$ ;$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
• Da costruire il grafico della struttura dei diamanti G = { V , E } usato per dimostrare che il CICLO AMILTONIANO DIRETTO è NP-Completo; supponiamo che ciascuna clausola C j corrisponda al nodo N $\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$ in ;$G$
• Modifica nel grafico G ′ = { V ′ , E ′ } sostituendo ciascun nodo u con tre nodi collegati u 1 , u 2 , u 3 e modifica i bordi secondo la riduzione standard utilizzata per dimostrare la completezza NP del CICLO AMILTONIANO NON INDIRETTO dal DIRECTED HAMILTONIAN CYCLE, ovvero u 1 è il nodo utilizzato per i bordi in entrata, u 3 è il nodo utilizzato per i bordi in uscita;$G$$G' = \{V',E'\}$$u$$u_1, u_2, u_3$$u_1$$u_3$
• Converti l'istanza CICLO AMILTONIANO INDIRIZZATO su in un'istanza TSP T in cui tutti i bordi di G ′ hanno peso w = 1 , tranne il bordo (unico) nel diamante che va all'assegnazione "positiva" di t che ha peso w = 2 (bordo rosso nella figura sotto); infine i bordi aggiunti per completare G ′ hanno peso w = 3 .$G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

Chiaramente l'istanza TSP ha un ciclo semplice che visita tutti i nodi che corrisponde all'assegnazione soddisfacente di φ ′ in cui t = t r u e (e questo tour può essere facilmente costruito in tempo polinomiale), ma ha un peso totale | V ′ | + 1 (perché utilizza il bordo che corrisponde all'assegnazione t = t r u e che ha peso 2). T ha un altro ciclo semplice che visita tutti i nodi con un peso totale inferiore | V ′ $T$$\varphi'$$t = true$$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$se e solo se il bordo di peso che corrisponde all'assegnazione t = t r u e non viene utilizzato; o equivalentemente se e solo se esiste un'altra assegnazione soddisfacente di φ ′ in cui t = f a l s e ; ma questo può essere vero se e solo se la formula originale φ è soddisfacente.$2$$t = true$$\varphi'$$t = false$$\varphi$

Ci penserò di più e scriverò una prova formale (se non risulta essere sbagliata :-). Fammi sapere se hai bisogno di ulteriori dettagli su uno o più dei passaggi precedenti.

Come notato da domotorp una conseguenza interessante è che il seguente problema è NP-completo: dato un grafico e un percorso hamiltoniano in esso, fa $G$$G$ ha un ciclo Hamiltoniano?

Papadimitriou e Steiglitz (1977) hanno mostrato completezza NP di questo problema.