Il numero di stati degli automi locali

Un automa deterministico è chiamato k -locale per k > 0 se per ogni w ∈ X k l'insieme { δ ( q , w ) : q ∈ Q } contiene al massimo un elemento. Intuitivamente ciò significa che se una parola w di lunghezza k conduce a uno stato, allora questo stato è unico o detto diversamente da una parola di lunghezza arbitraria$\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$$k$$k > 0$$w \in X^k$$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$$w$$k$ gli ultimi k simboli determinano lo stato a cui conduce.$> k$$k$

Ora, se un automa è -local, allora è sufficiente non essere k ' -local per qualche k ' < k , ma deve essere k ' -local per k ' > k causa degli ultimi simboli di una parola | w | > k determina lo stato, se presente, in modo univoco.$k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

Ora provo a collegare il numero di stati e la -località di un automa. Congettura:$k$

Lemma: Sia essere k -locale, se | Q | < k allora anche l'automa è | Q | -Locale.$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

Ma non sono riuscito a provare, qualche suggerimento o idea?

Mi auguro che da questa Lemma a qualcosa derivano circa il numero di stati di un automa che non è -local per tutti k ≤ N dato un fisso N > 0 , ma k -local per qualche k > N .$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

Dato che dici che dovrebbe avere al massimo un elemento, suppongo che tu usi la versione di DFA dove δ può essere parziale. Quindi questo è un controesempio: X = { a , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , a ) $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$ per q < 4 e δ ( 1 , b ) = 2 , δ ( 2 , b ) = 3 , δ ( 4 , b ) = 0 . F e q 0 ovviamente non contano per questa domanda.$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

L'automa è -locale, ma non 5 -locale, poiché T a b a a b = { 0 , 3 } .$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

Modifica: questo controesempio non funziona, lo terrò in modo che i commenti abbiano un senso. Ciò che segue, però.

Prendi , con transizioni 0 → 1 ( a ) , 1 → 2 ( a ) , 2 → 3 ( a ) , 2 → 0 ( b ) , 3 → 2 ( b ) . Questo automa è $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$-local, ma non -local: per a a b a , otteniamo i percorsi 0 → 1 → 2 → 0 → 1 e 1 → 2 → 3 → 2 → 3 , ovvero T a a b a = { 1 , 3 } .$4$$aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

Una risposta tardiva, ma il ritardo legato alla sincronizzazione è stato studiato per diverse classi di automi: vedi ad esempio Automi non ambigui; Béal et al. MCS'08 .

$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

$k$$k$