Il numero di stati degli automi locali


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Un automa deterministico è chiamato k -locale per k > 0 se per ogni w X k l'insieme { δ ( q , w ) : q Q } contiene al massimo un elemento. Intuitivamente ciò significa che se una parola w di lunghezza k conduce a uno stato, allora questo stato è unico o detto diversamente da una parola di lunghezza arbitrariaA=(X,Q,q0,F,δ)kk>0wXk{δ(q,w):qQ}wk gli ultimi k simboli determinano lo stato a cui conduce.>kk

Ora, se un automa è -local, allora è sufficiente non essere k ' -local per qualche k ' < k , ma deve essere k ' -local per k ' > k causa degli ultimi simboli di una parola | w | > k determina lo stato, se presente, in modo univoco.kkk<kkk>k|w|>k

Ora provo a collegare il numero di stati e la -località di un automa. Congettura:k

Lemma: Sia essere k -locale, se | Q | < k allora anche l'automa è | Q | -Locale.A=(X,Q,q0,F,δ)k|Q|<k|Q|

Ma non sono riuscito a provare, qualche suggerimento o idea?

Mi auguro che da questa Lemma a qualcosa derivano circa il numero di stati di un automa che non è -local per tutti k N dato un fisso N > 0 , ma k -local per qualche k > N .kkNN>0kk>N

Risposte:


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Dato che dici che dovrebbe avere al massimo un elemento, suppongo che tu usi la versione di DFA dove δ può essere parziale. Quindi questo è un controesempio: X = { a , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , a ) =Tw:={δ(q,w):qQ}δ per q < 4 e δ ( 1 , b ) = 2 , δ ( 2 , b ) = 3 , δ ( 4 , b ) = 0 . F e q 0 ovviamente non contano per questa domanda.X={a,b},Q={0,1,2,3,4},δ(q,a)=q+1q<4δ(1,b)=2,δ(2,b)=3,δ(4,b)=0Fq0

L'automa è -locale, ma non 5 -locale, poiché T a b a a b = { 0 , 3 } .65Tabaab={0,3}

Modifica: questo controesempio non funziona, lo terrò in modo che i commenti abbiano un senso. Ciò che segue, però.

Prendi , con transizioni 0 1 ( a ) , 1 2 ( a ) , 2 3 ( a ) , 2 0 ( b ) , 3 2 ( b ) . Questo automa è 5X={a,b},Q={0,1,2,3}01(a),12(a),23(a),20(b),32(b)5-local, ma non -local: per a a b a , otteniamo i percorsi 0 1 2 0 1 e 1 2 3 2 3 , ovvero T a a b a = { 1 , 3 } .4aaba0120112323Taaba={1,3}


c'è qualcosa che non va nei tuoi automi, hai dimenticato certe transizioni? La parola porta a nessuno stato indipendentemente da dove inizio ...abaab
StefanH,

Credo che dovrebbe essere corretta - indicato un po 'diverso, le transizioni sono: e 4 0 ( b ) . Quindi i percorsi che ottieni per a b a a b sono 0 1 2 01(a),12(a,b),23(a,b),34(a),40(b)abaab e 3 4 0 1 2 3 . 012340340123
Klaus Draeger,

scusa hai ragione!
StefanH,

Oh, in realtà non lo sono, ma per un motivo diverso. Ottieni quei percorsi, ma poi puoi semplicemente ripetere indefinitamente - questo automa non è k -locale per nessun k . abaabkk
Klaus Draeger,

naturalmente, in generale un automa non potrebbe essere locale se esistono due distinti e una parola w tale che δ ( p , w ) = p e δ ( q , w ) = q . p,qwδ(p,w)=pδ(q,w)=q
StefanH,

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Una risposta tardiva, ma il ritardo legato alla sincronizzazione è stato studiato per diverse classi di automi: vedi ad esempio Automi non ambigui; Béal et al. MCS'08 .

Ω(|Q|2)O(|Q|2)

kk


sembra che tu implichi un ritardo di sincronizzazione equivalente a k-local ....?
vzn

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Nel documento TCS'08 cito, per i DFA locali "il ritardo di sincronizzazione è 1+ la lunghezza di una sequenza non sincronizzata più lunga", dove una sequenza non sincronizzata è una parola che può portare a due stati diversi. Per me, questo è per definizione il più piccolo per cui l'automa è k -locale. Pensi che mi sbagli? kk
Joseph Stack,

una buona risposta non tralascerà i dettagli chiave. è possibile che siano (quasi? esattamente?) equivalenti, ma questo sarebbe un nuovo "ponte" non in un documento o in una connessione pubblicata ...? se è così, deve essere reso più dettagliato da qualche parte ...
vzn

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Ok. Ho modificato la risposta per sottolineare il punto. Non penso che sia necessario alcun ponte oltre a controllare la definizione.
Joseph Stack,

suggerire che entrambi i defn siano dichiarati esattamente e quindi dimostrati equivalenti. grazie per chiarimenti finora.
vzn,
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