Classe di complessità di questo problema?

Sto cercando di capire a quale classe di complessità appartiene il seguente problema:

Problema di radice polinomiale esponenziale (EPRP)

Sia un polinomio con con coefficienti disegnati da un campo finito con un numero primo e una radice primitiva per quel campo. Determina le soluzioni di: (o equivalentemente, gli zeri di ) dove significa esponenziale . $p(x)$ $\deg(p) \geq 0$ $GF(q)$ $q$ $r$

p (x) = r^{x}

$p(x) = r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) - r^x$

r^{x}

$r^x$

r

$r$

Si noti che, quando (il polinomio è una costante), questo problema ritorna al Problema logaritmico discreto, che si ritiene sia NP-intermedio, cioè è in NP ma né in P né NP-completo. $\deg(p)=0$

Per quanto ne so, non esistono algoritmi efficienti (polinomiali) per risolvere questo problema (gli algoritmi di Berlekamp e Cantor – Zassenhaus richiedono tempo esponenziale). Trovare le radici di tale equazione può essere fatto in due modi:

Prova tutti i possibili elementi nel campo e verifica se soddisfano o meno l'equazione. Chiaramente, ciò richiede tempo esponenziale nella dimensione in bit del modulo di campo; $x$
Il esponenziale può essere riscritta in forma polinomiale base Lagrange interpolazione interpolare i punti , determinando un polinomio . Questo polinomio è identico a proprio perché stiamo lavorando su un campo finito. Quindi, la differenza $r^x$ $\{(0,r^0),(1,r^1),\ldots,({q-1},r^{q-1})\}$ $f(x)$ $r^{x}$ , possono essere fattorizzati per trovare le radici dell'equazione data (usando gli algoritmi di Berlekamp o Cantor – Zassenhaus) e le radici leggono i fattori. Tuttavia, questo approccio è persino peggiore della ricerca esaustiva: poiché, in media, un passaggio polinomiale di punti dati avrà coefficienti non nulli, anche solo l'input all'interpolazione di Lagrange richiederà spazio esponenziale nella dimensione dei bit del campo. $p(x) - f(x)$ $n$ $n$

Qualcuno sa se si ritiene che questo problema sia NP-intermedio o appartenente a un'altra classe di complessità? Un riferimento sarà molto apprezzato. Grazie.

— Massimo Cafaro
fonte

Spiacente, intendevo si ritiene che sia NP-intermedio. Sto modificando la domanda per riflettere questo.

— Massimo Cafaro,

p (x) = r^{x}

$p(x)=r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) -r^x$

p (x) - f (x)

$p(x) - f(x)$

f (x)

$f(x)$

Il logaritmo discreto non è un caso speciale di questo? Quindi è almeno difficile come la radice discreta e ovviamente in NP. Se ritieni che il log discreto sia NPI, anche questo è. Potresti chiedere se esiste qualche algoritmo quantistico efficiente per il problema.

— Kaveh,

@Kaveh: Nella domanda si dice che il registro discreto è un caso speciale. Questo problema potrebbe essere più difficile (NP-completo), anche se immagino che siano gli stessi. Ma hai ragione nel cercare algoritmi polinomiali senza speranza.

— domotorp,

crossposted: mathoverflow.net/questions/154721/…

— domotorp

-5

mi prenderò una mano a rispondere a questo. non ci sono riferimenti indicati nella domanda ma viene dato un acronimo "EPRP" come se più di una persona lo avesse studiato. qualcuno sa se è così? l'interrogatore MC sembra avere un significativo bkg in quest'area, ma aiuterebbe in modo significativo elencare alcuni riferimenti "vicini" conosciuti / rivisti per capire perché hanno qualche lacuna che non (?) copre questo presunto caso speciale.

di solito aiuta a trovare "riferimenti disponibili più vicini" e determinare come il problema è diverso o simile. qui è un riferimento completo che sembra prendere in considerazione i problemi strettamente correlati. pensare che l'interrogatore MC dovrebbe cercare di individuare il caso più vicino del problema in questo riferimento, o forse qualcun altro, e quindi sottolineare come questo caso richiesto sia specificamente diverso dai casi di problema generale indicati nel riferimento. l'arbitro ha un lungo elenco di riferimenti correlati per verificare anche i problemi vicini / correlati. considera la complessità del problema e fornisce algoritmi P-time efficienti per vari casi.

SULLA RISOLUZIONE DI EQUAZIONI POLINOMIALI UNIVARI SU CAMPI FINITI E ALCUNI PROBLEMI CORRELATI Tsz Wo Sze, Doctor of Philosophy, 2007

... presentiamo un algoritmo deterministico del tempo polinomiale per risolvere equazioni polinomiali su alcune famiglie di campi finiti. Si noti che le equazioni polinomiali sono potenti costrutti. Molti problemi possono essere formulati come equazioni polinomiali.

— VZN
fonte

questa "risposta" dovrebbe essere un commento con un link alla tesi.

— Sasho Nikolov,

@vzn, i miei algoritmi principali (berlekamp, Cantor-Zassenhaus e interpolazione di Lagrange) sono stati citati nella mia domanda e puoi facilmente trovare tonnellate di materiali correlati nella ricerca sul web. Potrei anche aggiungere l'algoritmo Shoup qui, ma non sono in grado di aggiungere alcun riferimento in cui questo problema è stato studiato. L'acronimo "EPRP" è solo un modo per riferirsi al problema, non lo troverai in letteratura. Ad ogni modo, ho verificato la referenza che hai gentilmente fornito, ma i problemi studiati sono fin troppo facili e basati sulla semplificazione di ipotesi che, purtroppo, non si applicano al mio caso.

— Massimo Cafaro,

Inoltre, i problemi studiati nel Ph.D. le tesi non sono "generali": sono problemi specifici, con ipotesi semplificative che le rendono trattabili. Lavoro molto interessante e solido, ma se il dottor Tsz Wo Sze avesse risolto l'EPRP con un algoritmo temporale polinomiale, probabilmente gli sarebbe stata assegnata la medaglia Fields ;-)

— Massimo Cafaro

x

$x$

ϕ (ϕ (q))

$\phi(\phi(q))$

@VZN: hey amico, perché continui a trollare questo sito? Sta diventando uno scherzo. Ovviamente sei un aspirante informatico (non usi nemmeno la tua vera identità come gli altri veri scienziati qui come Shor e Growchow, ecc.

— William Hird,