Esiste un linguaggio ad albero normale in cui l'altezza media di un albero di dimensioni

Definiamo un linguaggio regolare degli alberi come nel libro TATA : è l'insieme di alberi accettato da un automa ad albero finito non deterministico (Capitolo 1) o, equivalentemente, l'insieme di alberi generato da una normale grammatica degli alberi (Capitolo 2). Entrambi i formalismi hanno strette somiglianze con i noti analoghi delle stringhe.

Esiste un linguaggio ad albero normale in cui l'altezza media di un albero di dimensioni non è né né ? $n$ $\Theta(n)$ $\Theta(\sqrt{n})$

Ovviamente ci sono linguaggi degli alberi tali che l'altezza di un albero è lineare nelle sue dimensioni; e nel libro Analitica Combinatoria è mostrato ad esempio che alberi binari di dimensione hanno un'altezza media di . Se capisco correttamente la Proposizione VII.16 (p.537) del libro citato, allora c'è un ampio sottoinsieme di linguaggi dell'albero regolari che hanno un'altezza media di , vale a dire quelli in cui il linguaggio dell'albero è anche una semplice varietà di alberi che soddisfano alcune condizioni extra. $n$ $2\sqrt{ \pi n}$ $\Theta(\sqrt{n})$

Quindi mi chiedevo se esiste una lingua ad albero normale che mostra un'altezza media diversa o se esiste una vera dicotomia per le lingue ad albero regolari.

Nota: questa domanda è stata posta in precedenza su Informatica , ma non ha ricevuto risposta da più di tre mesi. Vorrei ripubblicarlo qui perché la domanda è troppo vecchia per migrare e perché c'è ancora un interesse nella domanda. Ecco un link al post originale.

— john_leo
fonte

Il singolo albero con profondità costante è una risposta ovvia: o (\ sqrt {n}) ma non . Credo che probabilmente intendevi qualche altra domanda? Sostituire con forse?

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Joseph Stack,

Sì e no. Penso che anche un linguaggio ad albero regolare con profondità media (diciamo) sarebbe anche molto interessante. Ma hai ragione nel escludere casi così degenerati. Forse dovremmo richiedere che la lingua dell'albero contenga infiniti elementi?

O (n^{1 / 3})

$O(n^{1/3})$

— john_leo,

Che tipo di alberi hai in mente? Alberi classificati, alberi non ordinati ordinati da fratelli, alberi non ordinati non ordinati; e, a proposito, che tipo di automi ad albero intendi, dal basso verso l'alto o dall'alto verso il basso?

— fh

@JosephStack come può essere infinita l'altezza di un albero normale? Un albero con

nodi non può avere un'altezza maggiore di

n

$n$

n

$n$

— john_leo,

lim sup

$\lim\sup$

f

$f$

f (n) \notin Θ (\sqrt{n})

$f(n)\notin \Theta(\sqrt{n})$

f (n) \notin Θ (n)

$f(n)\notin\Theta(n)$

n

$n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

Θ (g)

$\Theta(g)$

g \notin {\sqrt{n}, n}

$g\notin\{\sqrt{n},n\}$

Credo che la risposta sia come tu suggerisci che non sono possibili altri asintotici diversi da , e . Un percorso promettente per dimostrare questo potrebbe essere quello di applicare le tecniche dal documento che deriva gli asintotici agli alberi correnti del linguaggio normale. Si noti che un albero è accettato se esiste un albero della corsa, quindi dovrebbe essere possibile prima derivare (usando loc.cit. ) L'altezza media di un albero della corsa generato casualmente e prenderlo da lì, cioè mostrare che proiettando via gli stati non modificare l'altezza media. $\Theta(1)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $\Theta(n)$ $\Theta(\sqrt{n})$

— Martin Hofmann
fonte

Penso che questo sia un commento e non una risposta poiché è tutt'altro che chiaro se questo tentativo si risolve.

— Danny,