"È una permutazione p un automorfismo di un grafico nel mio set?" NP-completo?

Supponiamo di avere un insieme S di grafici (grafici finiti, ma un numero infinito di essi) e un gruppo P di permutazioni che agisce su S.

Istanza: A permutazione p in P.

Domanda: esiste un grafico g in S che ammette l'automorfismo p?

Questo problema NP è completo per alcuni set S?

Sarebbe facile verificare che un grafico ammetta la permutazione p (cioè il certificato). Inoltre, è facile trovare esempi di S in cui il problema non è NP-completo, come S è l'insieme di grafici completi, da cui la risposta è sempre sì.

Nota: non sono veramente interessato a che tipo di grafici sono; se ti piace possono essere non semplici, diretti, colorati, ecc.

ADDENDUM: Il problema che sto attualmente esaminando è la classificazione di quali isotopismi sono autotopismi dei quadrati latini (che possono anche essere interpretati come un tipo speciale di automorfismo grafico).

Dato un quadrato latino L (i, j) possiamo costruire un grafico nel modo seguente:

L'insieme di vertici è l'insieme di celle (i, j) nella matrice e
C'è un limite tra distinti (i, j) e (i ', j') ogni volta che i = i 'o j = j' o L (i, j) = L (i ', j').

Tale grafico è chiamato grafico quadrato latino (vedi ad esempio questo articolo di Bailey e Cameron http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdf ). Possiamo interpretare un autotopismo di un quadrato latino come un automorfismo del grafico del quadrato latino. Quindi sia S l'insieme dei grafici quadrati latini formati dai quadrati latini dell'ordine n. Quindi la domanda che mi interessa è:

Data una permutazione p, p è un automorfismo di uno (o più) dei grafici in S?

Ho la sensazione che sia una domanda difficile a cui rispondere in generale: attualmente sto scrivendo un articolo di oltre 30 pagine sull'argomento (con 2 coautori). In realtà il più delle volte è facile (il più delle volte è "no"), ma ci sono alcuni casi difficili.

Quindi sono interessato a trovare problemi di decisione che sarebbero legati alla "classificazione di simmetria". Non hanno davvero bisogno di essere collegati ai quadrati latini, spero solo di usare queste tecniche per rispondere alla domanda per i quadrati latini.

— Douglas S. Stones
fonte

Non sono sicuro di aver compreso correttamente il problema. Puoi fare un esempio di S e P (e l'azione di gruppo di P su S)? Un esempio che rende il problema non banale (né tutto-sì o tutto-no) aiuterà a capire il problema.

— Tsuyoshi Ito,

Nell'esempio dei grafici completi, ciò che non capisco è come una permutazione su k punti agisce sul grafico completo su n punti, dove k ≠ n (specialmente se k> n).

— Tsuyoshi Ito,

Sono riuscito a ingannarmi nel pensare di aver capito il problema, ma ora ho deciso di non farlo. Il gruppo di permutazioni S agisce sui grafici della famiglia P o agisce potenzialmente solo sui grafici della famiglia P?

— Niel de Beaudrap,

Un problema qui è che dobbiamo scegliere un set

per il quale il test di appartenenza è in NP.

S

$S$

— Emil,

Ho aggiunto un po 'più di background nella risposta. In realtà, in generale, non mi interessa davvero se il gruppo agisca o meno su S, purché possiamo rispondere "questa permutazione è un automorfismo di quel grafico?" Nel caso dei quadrati latini, possiamo interpretarlo come un'azione di gruppo.

— Douglas S. Stones,

Prendi qualsiasi lingua (che consiste in stringhe binarie). Costruire l'insieme di grafici come segue: $L$ $S$

Per ogni stringa con , abbiamo il grafo in , con l'insieme dei nodi e i seguenti bordi: se il bit di è , quindi i nodi e $x \in L$ $|x| = n$ $G_x = (V_x,E_x)$ $S$ $V_x = \{1,2,...,3n\}$ $i$ $x$ $0$ $3i-2$ sono adiacenti, altrimenti e sono adiacenti. Non ci sono altri bordi. $3i-1$ $3i-2$ $3i$

Ora lasciate che sia una permutazione di . Si supponga che è un automorfismo di qualche grafico in . Cioè, è un automorfismo di per qualche . Lasciate che . Consideriamo i seguenti due casi: $p$ $\{1,2,...,3n\}$ $p$ $S$ $p$ $G_y$ $y \in L$ $i \in \{1,2,...,n\}$

, , . Quindi dobbiamo avere bit di uguale a . $p(3i-2) = 3i-1$ $p(3i-1) = 3i-2$ $p(3i) = 3i$ $i$ $y$ $0$
, , . Quindi dobbiamo avere bit di uguale a . $p(3i-2) = 3i$ $p(3i-1) = 3i-1$ $p(3i) = 3i-2$ $i$ $y$ $1$

Quindi se riusciamo a risolvere la domanda "è un dato automorfismo di alcuni ", possiamo anche risolvere la domanda "è una data stringa in ". Inoltre, se possiamo fare il primo in, diciamo, tempo polinomiale in , possiamo fare quest'ultimo in tempo polinomiale in anche. $p$ $G \in S$ $y$ $L$ $|p|$ $|y|$

Ora puoi semplicemente lasciare che sia il tuo problema NP-difficile preferito. O il problema di arresto ... $L$

— Jukka Suomela
fonte

E per rispondere effettivamente alla domanda originale: Sia

un problema NP-completo, e si avrà una

tale che il problema dell'automorfismo è NP-completo. Il certificato per una risposta "sì" è un

tali che

è l'automorfismo di

, più il certificato per

L

$L$

S

$S$

G_{y} \in S

$G_y \in S$

p

$p$

G_{y}

$G_y$

y \in L

$y \in L$

— Jukka Suomela,

@Jukka: Un modo per avvicinare la domanda alla motivazione originale dei grafici quadrati latini è richiedere che l'insieme

dei grafici sia chiuso sotto isomorfismo. Questa è anche una limitazione abbastanza naturale. L'insieme

che costruisci da un linguaggio arbitrario

non è chiuso sotto l'isomorfismo e, in questo senso molto specifico, è un po 'innaturale. Non vedo come modificare la tua costruzione per soddisfare questo vincolo, ma penso che sarebbe molto interessante se potesse essere fatto.

S

$S$

S

$S$

L

$L$

— Joshua Grochow,

@Joshua: Penso che sia possibile modificare la costruzione, ad esempio come segue: sia i grafici che le permutazioni che usiamo nelle query sono costituiti da cicli disgiunti . Più in dettaglio,

contiene un ciclo di lunghezza

se il bit

è uguale a

. Allo stesso modo, per determinare se

, costruire una permutazione

che contenga un ciclo di lunghezza

se il bit

è uguale a

G_{x}

$G_x$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

x

$x$

a

$a$

y \in L

$y \in L$

p

$p$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

y

$y$

. (Potrei aver trascurato alcuni dettagli, ma penso che l'idea di base dovrebbe funzionare ...)

a

$a$

— Jukka Suomela,

@Jukka: Bello. Credo che i nuovi lavori di costruzione come scritto (supponendo che abbiamo solo permettiamo

di agire sui grafici con esattamente

vertici, e non i grafici con più di

vertici).

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

n

$n$

— Joshua Grochow,

@Joshua: Immagino che la possibilità di applicare

ai grafici con più di

nodi non ha importanza, se assumiamo che la lingua

usi un codice senza prefisso?

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

L

$L$

— Jukka Suomela,