Teoria decisa della crescita asintotica

Quali sono i limiti noti della decidibilità del confronto del tasso di crescita delle funzioni da ? Sto pensando alla decidibilità di domande come "Is ?" o "È ?". $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $x^x \sim 2^{\lfloor x \lg (x+2) \rfloor}$ $2^{\lg^* x} \in O(\lg \lg x)$

Se limitiamo le funzioni ai polinomi (espressi nel solito modo), allora non è difficile. Vedi anche la forma normale di Cantor .

Quanto possiamo ampliare la classe di funzioni prima che il confronto diventi indecidibile? Possiamo estenderlo alle funzioni utilizzate in una tipica classe di algoritmi universitari?

Come spiega Joshua Grochow nei commenti, sono davvero interessato al set di espressioni, non alle funzioni stesse. Quindi, per esempio, sarei interessato a procedure di decisione che potrebbero confrontare " " e " ", anche se non possono confrontare " " e " ". $1$ $2$ $\ln e$ $n^{(\ln n)^{-1}}$

Domanda forse correlata: "La teoria dei limiti asintotici è finitamente assiomatizzabile?"

decidability asymptotics

— jbapple
fonte

Domanda interessante! Penso che una parte dovrebbe essere cambiata un po 'però. Non penso che la domanda dovrebbe essere quanto sia grande la classe di funzioni, ma piuttosto come sono espresse le funzioni . Cioè, se ti vengono dati due macchine Turing a tempo polinomiale come input, dire quale ha un tempo di esecuzione maggiore è indecidibile (nonostante il fatto che entrambi abbiano tempi di esecuzione polinomiali) ... Se tali funzioni fossero invece espresse come, diciamo , polinomi espliciti (scrivere l'intero poli con coefficienti) quindi è facile confrontare.

— Joshua Grochow,

Buon punto. Hai qualche suggerimento su come esprimerlo?

— jbapple,

Immagino che dipenda da ciò che ti interessa. Potrebbe essere naturale chiedere funzioni espresse come formula che coinvolgono varie operazioni, e quindi la domanda è quali insiemi di operazioni lo rendono decidibile / indecidibile. ad esempio ops includerebbe +, times, divide, -, ennesima radice, exp, log, composizione, log ^ *, ecc. (Se si lascia fuori il log ^ *, l'elenco precedente offre tutte le funzioni elementari.)

— Joshua Grochow

$\mathbb{R}$ $x$ $\exp$ $\log|\cdot|$ $f(x)^5 + f(x) = x$ è in famiglia). Hardy ha dimostrato che due di queste funzioni possono essere confrontate asintoticamente. Non sono sicuro che la prova sia algoritmica, ma vale la pena verificarla.

Boshernitzan ha ampliato ulteriormente questa classe e, senza dubbio, ci sono altri lavori sull'argomento.

— Yuval Filmus
fonte

Il libro "Symbolic Asymptotics" di John R. Shackell afferma (il paragrafo 5.1, pagina 91), che il primo algoritmo per questo problema era tratto dall'articolo del 1986 di Dahn e Goring, "Note sui termini esponenziali-logaritmici" . La tesi di Dominik Gruntz del 1996, "Sui limiti di calcolo in un sistema di manipolazione simbolica" contiene anche un algoritmo per questo problema e confronta vari metodi.

— jbapple,

Tuttavia, tutti questi fanno affidamento su un oracolo per risolvere il problema dell'equivalenza zero, che è indecidibile in generale.

— jbapple,