Biiezioni a input limitato di sequenze infinite

Ecco un puzzle che non sono riuscito a risolvere. Vorrei sapere se questo problema è già noto o ha una soluzione semplice.

È possibile definire una biiezione usando le proprietà delle categorie chiuse bicartesiane. Andrej Bauer ha pubblicato una spiegazione di ciò che questo significa sul suo blog come " gemma costruttiva: giocoleria esponenziali ". $3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N}$

Questa biiezione ha una proprietà interessante: è "input limitato", il che significa che ogni componente dell'output dipende solo da molti componenti dell'input. Tuttavia, per sembra che questa costruzione possa solo mostrare che e sono isomorfi se e sono entrambi dispari o entrambi pari. Questo lascia aperta la domanda: $k,l\geq 2$ $k^\mathbb{N}$ $l^\mathbb{N}$ $k$ $l$

Esiste una biiezione a input limitato da a ? $2^\mathbb{N}$ $3^\mathbb{N}$

Ecco una breve nota che descrive il problema in modo più dettagliato: Una congettura relativa a biiezioni a input limitato di sequenze infinite .

definizioni:

Una funzione è input limitato se esiste un intero tale che ogni componente dell'output di dipende solo dalla maggior parte dei componenti dell'input. Più formalmente, è input limitato se per ogni indice vi sono indici e una funzione tale che per tutti il componente uguale a . $f : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j$ $k$ $f$ $k$ $f$ $j \in J$ $i_1,\dotsb,i_k \in I$ $f_m : X_{i_1}\times\dotsb\times X_{i_k} \rightarrow Y_j$ $x \in X$ $f(x)_j$ $f_j(x_{i_1},\dotsb,x_{i_k})$

Una biiezione è una biiezione a ingresso limitato se è una funzione a ingresso limitato. $f$

Una biiezione è un isomorfismo a input limitato se esso e il suo inverso sono funzioni di input limitato. Anche questo è interessante. $f$

puzzles ct.category-theory topology

— Colin McQuillan
fonte

Probabilmente è meglio copiare la definizione di "biiezione a input limitato" dalla nota. Ho frainteso la definizione fino a quando non l'ho letta.

— Tsuyoshi Ito,

Fatto. Vorrei sottolineare che, sebbene la motivazione della domanda provenga dalla semantica della teoria delle categorie, il puzzle stesso è combinatorio.

— Colin McQuillan,

La cosa più fastidiosa di questo problema è che sembra facile! Tutti gli insiemi sono isomorfi a input limitato, così come tutti gli insiemi . Non vedo alcun motivo per cui questi due non possano essere resi isomorfi a input limitato usando una variazione degli isomorfismi utilizzati nelle prove esistenti, ma tali tentativi sembrano fallire. Aghh. (Non ho esperienza in questo campo, quindi potrei essere fuori dal comune.)

(2 k)^{N}

$(2k)^{\mathbb{N}}$

(2 k + 1)^{N}

$(2k+1)^{\mathbb{N}}$

— Tsuyoshi Ito

Mi piace molto questa congettura, ed è in giro da un mese ormai. Darò una taglia a chiunque lo risolva o faccia progressi sostanziali in entrambe le direzioni.

— Aaron Sterling,

Bella domanda :-) A proposito, qual è l'isomorfismo "più semplice" tra e che conosci?

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

3^{N}

$3^\mathbb{N}$

— Andrej Bauer,

Risposte:

Non sono un ragazzo di teoria CS. Ma nella teoria ergodica questo tipo di mappatura è conosciuta come isomorfismi finitari . Ad esempio, le persone considerano se due sequenze di Bernoulli della stessa entropia sono o no isomorfe dal punto di vista finanziario. Ad esempio (questo è un cambiamento unilaterale perché sembra che tu sia interessato a piuttosto che a ): $P^{\mathbb{N}}$ $P^{\mathbb{Z}}$

A. Del Junco, "Codici finanziari tra turni di Bernoulli unilaterali", Ergodic Theory Dynamical Systems, vol. 1, pagg. 285–301, 1981.

PS Ho intenzione di lasciare questo come commento, ma non posso a causa della mancanza di reputazione. Fammi sapere se è completamente fuori tema quindi lo eliminerò.

— gondoliere
fonte

Per prima cosa, accolgo con favore le idee stravaganti di brainstorming.

— Aaron Sterling,

Si noti che se gli indici sono presi da ℕ o ℤ è irrilevante in questa domanda.

— Tsuyoshi Ito,

Ho assegnato la piena ricompensa a questa risposta, perché, se non avessi fatto nulla, la risposta avrebbe ricevuto comunque la metà della taglia, come la più votata (e avendo ricevuto almeno due voti). Se qualcuno pubblica una prova completa o parziale in un secondo momento, e la vedo, probabilmente inizierò un'altra taglia, per assegnare il rappresentante al risolutore.

— Aaron Sterling,

Penso che un isomorfismo tra e dovrebbe essere fornito da qualsiasi raccolta di prefissi binari esclusivi ed esaustivi di dimensione , ad esempio per potremmo noi "0", " 10 "e" 11 ". In generale, possiamo usare "0", "10", "110", ..., "11 ... 10", "11 ... 11" dove il penultimo ha e il l'ultimo ha . $k^\mathbb{N}$ $2^\mathbb{N}$ $k$ $k = 3$ $k - 2$ $k - 1$

La natura esclusiva ed esauriente ci consente di definire l'inverso ( ) in modo ovvio. $2^\mathbb{N} \to k^\mathbb{N}$

La limitatezza nella direzione in avanti è facile, poiché ciascuno inserire cifre fornisce almeno una cifra uscita esima cifra binaria è facilmente determinata non più del primo cifre ario. $i$ $i$ $k$

Il limite nella direzione all'indietro è un po 'più brutto. Con la collezione del prefisso ho dato sopra ogni cifre ario "legge" da al massimo cifre binarie e così il ° ario cifra è determinata da non più del primo cifre binarie. $k$ $k$ $i$ $k$ $k i$

Questo non è un input limitato in nessuna direzione. In base alla definizione di una funzione di input limitato, è necessario un limite uniforme sul numero di variabili di input da cui dipende ciascuna variabile di output. Nella direzione in avanti della mappatura, la variabile di output i-esima dipende dalle prime variabili di input i, quindi non esiste un limite uniforme. Nella direzione all'indietro, l'ennesima variabile di output dipende dalle prime variabili di input ki.

— Tsuyoshi Ito,

D'oh. Vado a leggere la domanda per la quinta volta. :(