Problemi NP-difficili sui percorsi

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tutti sanno che esistono molti problemi di decisione che sono NP-difficili nei grafici generali, ma sono interessato a problemi che sono anche NP-difficili quando il grafico sottostante è un percorso. Quindi, puoi aiutarmi a raccogliere tali problemi?

Ho già trovato una domanda correlata sui problemi NP-difficili sugli alberi .

graph-theory np-hardness

— Beniamino
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Se vedi questa domanda, dovresti anche leggere attentamente la risposta accettata: "Prendi qualsiasi problema NP-hard relativo a supersequenze, superstringhe, sottostringhe, ecc. Quindi reinterpreta una stringa come un grafico percorso etichettato".

— Saeed

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Solo una nota: se i percorsi non sono etichettati, sono ovviamente altamente comprimibili e la rappresentazione compatta è una scelta ragionevole ( bit per rappresentare un percorso di nodi) ... quindi puoi anche "convertire" problemi difficili che non usare la codifica unaria; es. somma del sottoinsieme: dati percorsi senza etichetta di lunghezza , esiste un sottoinsieme di essi che può essere unito per formare un percorso di lunghezza ?

\log n

$\log n$

n

$n$

n

$n$

a_{1}, . . ., a_{n}

$a_1,...,a_n$

b

$b$

— Marzio De Biasi,

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Una corrispondenza arcobaleno in un grafico colorato è una corrispondenza i cui bordi hanno colori distinti. Il problema è: dato un grafico di bordo e un intero , ha una corrispondenza arcobaleno con almeno bordi? Questo è noto come problema di abbinamento dell'arcobaleno e il suo NP è completo anche per percorsi adeguatamente colorati. Gli autori notano anche che prima di questo risultato, nessun problema di grafico non ponderato è noto per essere NP -hard per percorsi semplici al meglio delle loro conoscenze. $G$ $k$ $G$ $k$

Vedi Le, Van Bang e Florian Pfender. "Risultati di complessità per gli abbinamenti arcobaleno." Theoretical Computer Science (2013) , o la versione arXiv .

— Juho
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Ecco alcune semplici osservazioni.

Un grafico di percorso non colorato fondamentalmente codifica un numero intero, quindi è possibile prendere qualsiasi problema NP-difficile che coinvolge numeri interi con codifica unaria e reinterpretarlo come un problema di grafico del percorso. Se si consentono più numeri interi codificati in unario (= un'unione disgiunta di grafici di percorso), è possibile utilizzare alcuni problemi fortemente NP completi come 3-Partition.
Un grafico di percorso colorato codifica una parola su un alfabeto fisso, quindi di nuovo puoi affrontare un problema NP-difficile con le parole. Un esempio di cui sono a conoscenza è il problema dei fattori disgiunti introdotto in Bodlaender, Thomassé e Yeo .

— Super0
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Questo è fondamentalmente il commento di Saeed ..

— RB

Bene, quindi sentiti libero di sottovalutare la mia risposta. Per quanto riguarda i problemi NP-difficili sugli alberi, posso citare il noto problema della larghezza di banda; in realtà è stato dimostrato che è difficile per la gerarchia W in un rapporto di ricerca di Bodlaender, che non sono riuscito a trovare online.

— Super0

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MinCC Graph Motif è NP-hard quando il grafico è un percorso (anche APX-hard). Dato un grafico con i colori sui vertici e un insieme di colori, trova un sottografo che corrisponda all'insieme di colori e minimizzi il numero di comp collegati. Vedi Problemi di complessità nella corrispondenza del pattern grafico color vertice, JDA 2011.

— Olf
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Dato un percorso con nodi e bordi ponderati , scopri se i nodi possono essere etichettati usando i numeri in (evitando etichette duplicate) in modo tale che la differenza assoluta di le etichette di due nodi adiacenti sono uguali al peso del bordo: $n$ $1 \leq \text{weight}(u,v) < n$ $[1..n]$

| laboratorio (u) - laboratorio (v) | = peso (u, v)

$| \text{lab}(u) - \text{lab}(v)| = \text{weight}(u,v)$

Ciò equivale al problema della ricostruzione della permutazione dalle differenze, che è l'NPC (uno dei miei risultati "non ufficiali" :-).

— Marzio De Biasi
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Una risposta banale che si avvicina ad alcuni di ciò che appare sopra ma, credo, distinto.

Fix qualsiasi tempo polinomiale calcolabile codifica di triple come numeri naturali. L'insieme di valori tali che il ° macchina di Turing non deterministica riconosca l' th ingresso al massimo in stadi (dove è la lunghezza di tale ingresso) è NP -Complete. ( modo che stiamo effettivamente codificando $f\colon\mathbb{N}^3\to\mathbb{N}$ $\langle k,m,w\rangle$ $f(k,m,w)$ $m$ $w$ $n^{\log k}$ $n$ $\log k$ $k$ in unario.) Tale insieme di valori può essere rappresentato come un insieme di percorsi.

— David Richerby
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L'insplittable Flow Problem (UFP) rimane NP-difficile su un percorso. In effetti, l'UFP è NP-difficile anche su un singolo bordo, poiché equivale al problema dello zaino.

— Arindam Pal
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3

Il Rainbow Dominating Set (RDS) rimane NP-difficile sui percorsi. Dato un grafico colorato di vertice, un RDS è un DS in cui ogni colore del grafico appare almeno una volta.

Insiemi tropicali dominanti in grafici color vertice , JDA'18

— Olf
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Set dominante e Set dominante indipendente sono NP-difficili su percorsi se c'è anche nell'input un "grafico di conflitto", in cui un bordo in questo grafico è una coppia di vertici che non possono essere entrambi nella soluzione.

Cornet, Alexis; Laforesta, cristiana , problemi di dominazione senza conflitti , apparecchio discreto. Matematica. 244, 78-88 (2018). ZBL1387.05181 .

— Olf
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