Perché sono così pochi i candidati naturali per lo stato NP-intermedio?

È ben noto dal Teorema di Ladner che se , allora esistono infiniti intermedi ( ). Ci sono anche candidati naturali per questo status, come Isomorfismo grafico, e molti altri, vedi Problemi tra P e NPC . Tuttavia, la stragrande maggioranza della folla di noti sono noti in o . Solo una piccola parte di essi rimane un candidato per . In altre parole, se scegliamo casualmente un naturaleN P N P I natural N P P N P C N P I N P N P ${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$$\mathsf {NP}$$\mathsf{NPI}$$natural$ $\mathsf {NP}$$\mathsf {P}$$\mathsf {NPC}$$\mathsf {NPI}$$\mathsf {NP}$-problema tra quelli noti, abbiamo pochissime possibilità di scegliere un . C'è qualche spiegazione per questo fenomeno?$\mathsf {NPI}$

Potrei pensare a 3 possibili spiegazioni, più sul lato filosofico:

1. La ragione per avere una così piccola parte di candidati naturali è che alla fine si rivelerà vuoto. Lo so, questo implica , quindi è molto improbabile. Tuttavia, si potrebbe ancora sostenere (anche se non sono uno di loro) che la rarità dei problemi naturali di è un'osservazione empirica che sembra supportare effettivamente , al contrario alla maggior parte delle altre osservazioni.N P I P = N P N P I P = N $\mathsf {NPI}$$\mathsf {NPI}$${\mathsf P} =\mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}$${\mathsf P} =\mathsf {NP}$

2. La piccolezza di "natural- " rappresenta una sorta di netta transizione di fase tra problemi facili e difficili. Apparentemente, i problemi algoritmici significativi e naturali si comportano in modo che tendano a essere facili o difficili, la transizione è stretta (ma esiste ancora).$\mathsf {NPI}$

3. L'argomento in 2 può essere portato all'estremo: alla fine tutti i problemi in "natural- " verranno messi in , eppure , quindi . Ciò significherebbe che tutti i problemi rimanenti inP ∪ N P C P ≠ N P N P I ≠ ∅ N P $\mathsf {NPI}$$\mathsf {P} \cup \mathsf {NPC}$${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}\neq \emptyset$$\mathsf {NPI}$sono "innaturali" (inventati, senza significato nella vita reale). Un'interpretazione di ciò potrebbe essere che i problemi naturali sono facili o difficili; la transizione è solo un costrutto logico, senza significato "fisico". Questo in qualche modo ricorda il caso dei numeri irrazionali, che sono perfettamente logici, ma non sorgono come valore misurato di alcuna quantità fisica. In quanto tali, non provengono dalla realtà fisica, sono piuttosto nella "chiusura logica" di quella realtà.

Quale spiegazione ti piace di più o puoi suggerirne un'altra?

Come altri hanno sottolineato, è discutibile fino a che punto la cosa che stai cercando di spiegare sia persino vera. Si potrebbe sostenere che, negli anni '60 e '70, gli informatici teorici erano solo più interessati ai tipi di problemi che si rivelano essere in P o in altri NP-completi. Oggi, a causa dell'aumento della crittografia teorica della complessità, dell'informatica quantistica, dei reticoli, ecc., Così come del semplice fatto che la completezza NP è diventata così ben compresa --- siamo diventati sempre più interessati a i tipi di problemi che si rivelano essere NP-intermedi.

Tuttavia, ci si potrebbe chiedere: nella misura in cui la cosa è vera, cioè nella misura in cui così tanti problemi di ricerca e ottimizzazione naturali "scattano" per essere NP-completi oppure in P --- in quella misura , perché è vero? Qui, penso che puoi ottenere molta intuizione guardando un fenomeno precedente dalla calcolabilità: che così tanti modelli naturali di calcolo "scattano" per essere completi di Turing. In tal caso, direi che la spiegazione è che, una volta che hai alcuni componenti di base --- una memoria di lettura / scrittura, loop, condizionali, ecc .-- è difficile evitareessere in grado di simulare una macchina di Turing e quindi essere completo di Turing. Allo stesso modo, una volta che il tuo problema di ricerca o ottimizzazione ha alcuni componenti di base --- soprattutto la capacità di costruire "gadget" che imitano porte logiche come AND, OR e NOT --- è difficile evitare di essere in grado codificare SAT e quindi essere NP-completo.

Nel modo in cui mi piace pensarci, problemi come SAT esercitano una potente "attrazione gravitazionale" su tutti gli altri problemi computazionali nelle loro vicinanze, facendo loro desiderare di "agganciarsi" per essere anche NP-completi. Quindi, normalmente non richiede nemmeno una spiegazione speciale quando ancora un altro problema soccombe a quel tiro! Ciò che colpisce di più, e che ha più bisogno di spiegazioni, è quando un problema NP apparentemente difficile ha delle proprietà che gli permettono di resistere all'attrazione gravitazionale di SAT. Abbiamo poi vogliamo sapere: che cosa è che la proprietà? Perché non puoi giocare il solito trucco di completezza NP per questo problema, di costruire gadget che codificano le porte logiche booleane? Ho creato un elenco di alcune risposte comuni a quella domanda in questa recente risposta CS.SE, ma (come già sottolineato da un altro commentatore) ci sono altre possibili risposte che mi mancavano.

Molti problemi naturali possono essere espressi come problemi di soddisfazione dei vincoli e ci sono teoremi di dicotomia per CSP.

Solo uno scherzo: dopo aver pensato alla "attrazione gravitazionale SAT" nella bella risposta di Scott Aaronson, mi è venuta in mente un'altra metafora: il sandwich 3-SAT 2-SAT !

... ma non so se il sandwich può essere riempito con ingredienti naturali (tuttavia ho scoperto che potrebbe essere riempito con alcuni -SAT salsa [1] se l'ipotesi del tempo esponenziale è vera) :-D$(2 + \frac{(\log n)^k}{n^2})$

$(2+1/n^{2−\epsilon}),0<\epsilon<2$

$(2+f(n))$

$NP$$NP$$NP$$NP$$P \ne NP$

$NP$$NP$$NP$

$NP$$FPT \ne W[1]$

Riferimenti :

1- M. Grohe. La complessità dell'omomorfismo e dei problemi di soddisfazione dei vincoli visti dall'altra parte. Journal of the ACM, 54 (1), articolo 1, 2007

2- Peter Jonsson, Victor Lagerkvist e Gustav Nordh. Fori che saltano in vari aspetti dei problemi computazionali, con applicazioni per limitare la soddisfazione. Negli atti della XIX Conferenza internazionale sui principi e la pratica della programmazione dei vincoli (CP-2013). 2013.

Ecco una fiaba sulla struttura di Goldilocks di problemi NP-intermedi. (Attenzione: questa storia può essere un utile errore per generare e testare potenziali ipotesi, ma non è pensata per essere scientificamente rigorosa. Si basa su una parte Ipotesi del tempo esponenziale, un pizzico di magia della complessità di Kolmogorov, alcuni pezzi presi in prestito dalla teoria del SAT risoluzione e la tricotomia euristica di Terence Tao per problemi. Consumare a proprio rischio, come con tutte le intrusioni che agitano le mani sulla matematica.)

Se quasi tutte le istanze in un problema in NP sono altamente strutturate, il problema è in realtà in P. Le istanze quindi contengono quasi molta ridondanza e un algoritmo a tempo polinomiale per il problema è un modo per scomporre la ridondanza. È anche ipotizzabile che ogni problema in P possa essere ottenuto prendendo qualche problema in EXP e aggiungendo una ridondanza strutturata, tramite una qualche forma di riempimento (non necessariamente il solito tipo). Se così fosse, un algoritmo del tempo polinomiale potrebbe essere visto come un modo efficiente per annullare quell'imbottitura.

Se ci sono abbastanza casi non strutturati, che formano un "nucleo di durezza", allora il problema è NP-completo.

Tuttavia, se questo "nucleo di durezza" è troppo scarso, allora ha spazio solo per rappresentare parte del SAT, quindi il problema è in P o NP-intermedio. (Questa argomentazione è l'essenza del teorema di Ladner). Per usare l'analogia di Scott, il "nucleo della durezza" esercita una spinta gravitazionale sul problema, verso il suo completo NP. Le istanze nel "nucleo della durezza" non contengono molta ridondanza e l'unico algoritmo realistico che funziona per tutte quelle istanze è la ricerca della forza bruta (ovviamente, se ce ne sono molte finitamente, allora funziona anche la ricerca della tabella).

Da questo punto di vista, i problemi intermedi NP dovrebbero essere rari nella pratica, dal momento che richiedono un buon equilibrio di Goldilock tra istanze strutturate e non strutturate. Le istanze dovrebbero avere una ridondanza sufficiente da essere parzialmente suscettibili a un algoritmo, ma dovrebbe esserci un nucleo di durezza sufficiente che il problema non è in P.

Si può raccontare una storia ancora più semplice (e divertente, ma anche potenzialmente ancora più fuorviante) basata sui puzzle. Con solo alcuni vincoli, si può forzare molta ricerca, per esempio NxN Sudoku è NP-completo. Ora considera di essere invitato a risolvere molti piccoli enigmi in una sola istanza, in una sola volta (ad esempio molti Sudoku 9x9). Il tempo impiegato sarà approssimativamente lineare nel numero di enigmi in ciascuna istanza, e questo problema è quindi in P. Per problemi intermedi, si può pensare che ogni istanza sia un numero grande (ma non troppo grande) di Sudoku su grande (ma non troppo grandi) griglie. Il motivo per cui non osserviamo molti di questi problemi è perché sarebbero tristi da posare e da risolvere!

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NP}$

$n$$\geq \log n$$\mathsf{NPI}$ $\mathsf{NP}$$x$$Q$$x$$Q$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NPC}$

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{P}$