Complessità nel trovare il numero massimo di insiemi disgiunti in coppia

Si supponga che ho set con elementi tratti da quelli possibili. Ogni set ha dimensioni ( ), in cui i set possono sovrapporsi. Voglio determinare se i seguenti due problemi sono NP completi o meno: $P$ $r$ $n$ $n<r$

Problema A. Esistono insiemi distinti ( ) all'interno degli insiemi (ovvero, la loro intersezione di coppia è vuota)? $M$ $1 \le M \le P$ $P$

Problema B. Ora è possibile scegliere ( ) elementi da ciascun set. Esistono insiemi distinti ( ) di dimensione ciascuno all'interno degli insiemi ? Si noti che solo un set di elementi può essere preso da ciascun set di elementi. $k$ $k<n$ $L$ $1 \le L \le P$ $k$ $P$ $k$ $n$

Nota : sono principalmente interessato al caso in cui siano fissi ( ). $k,n$ $n \ge 2, k \ge 2$

Penso che il Problema A possa essere pensato come un problema di corrispondenza dell'ipergrafo -uniforme -partite. Cioè, abbiamo gli elementi di come vertici e ogni hyper-edge contiene un sottoinsieme di vertici del grafico. $n$ $r$ $r$ $n$

Nel -uniforme -partite problema di corrispondenza dell'iper-grafico NP-completo? $n$ $r$
Penso che il Problema B equivale a trovare il numero di iper-bordi distinti della cardinalità presi dagli iper-bordi della cardinalità . Questa versione limitata (nel senso che ogni set di cardinalità è preso da un set prescelto di elementi anziché preso arbitrariamente da elementi ) del Problema A NP-complete? $k$ $n$ $k$ $n$ $r$

Esempio ( ): $n=3,r=5, P=3$

, , $A=\{1,2,3\}$ $B=\{2,3,4\}$ $C=\{3,4,5\}$

Se , esiste solo un insieme distinto, che è o o , poiché ciascuna delle coppie , , ha non- incrocio vuoto. $k=n=3$ $M=1$ $A$ $B$ $C$ $(A,B)$ $(A,C)$ $(B,C)$

Se , abbiamo insiemi distinti: una soluzione è , (sottoinsiemi di e ). $k=2$ $L=2$ $\{1,2\}$ $\{3,4\}$ $A$ $B$

graph-theory np-hardness

— MJK
fonte

Questo è un caso speciale del problema di imballaggio massimo impostato ed entrambi i problemi A e B sono NP-completi . Si noti che il problema è semplicemente un problema corrispondente se ed è anche facile se . Quindi assumerò . $n=2$ $n=1$ $n \ge 3$

Invece di porre la domanda,

Ci sono insiemi disgiunti tra gli insiemi ? $M$ $P$

Facciamo la seguente domanda

Qual è il numero massimo di insiemi disgiunti che possiamo ottenere dagli insiemi ? $P$

$M$ $M$

$M$ $O(\log{M})$

Quindi possiamo concludere che entrambe le domande sono equivalenti. vale a dire che la domanda 1 è risolvibile in tempo polilomiale se e solo se lo è anche la domanda 2.

$M$

$k=n-1$

$T$ $t$ $T$ $T$ $S_i \in T$ $|S_i| < t$ $(t-|S_i|)$ $S_i$ $T$ $S_i \in T$

$A$ $T$

MODIFICA - Alcune informazioni aggiuntive sul problema B

$T$ $n$ $d$ $T$

$n$

$M$ $T$ $M$ $(M-1)$ $P=NP$

— Obinna
fonte

n + 1

$n+1$

n = 3, P = 3

$n=3, P=3$

n - 1 = 2

$n-1=2$

{1, d}, {2, 3}, {4, 5}

$\left\{ {1,d} \right\},\left\{ {2,3} \right\},\left\{ {4,5} \right\}$ . Tuttavia, la soluzione al problema A è che esiste un solo set. In altre parole, non vedo come una soluzione al Problema B fornisca un'approssimazione costante del fattore al Problema A.

— MJK,

A' = {1, 2, 3, d}, B' = {2, 3, 4, d}

$A′= \left\{ {1,2,3,d} \right\}, B′= \left\{ {2,3,4,d} \right\}$

C' = {3, 4, 5, d}

$C′= \left\{ {3,4,5,d} \right\}$

n = 4

$n=4$

n = 4

$n=4$

k = 3

$k=3$

n = 2

$n=2$

k = 2

$k=2$